《D37洛必达法则》PPT课件

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1、3.7.3其他未定式的定值法3.7.1未定式的分类3.7.2商类洛比达法则§3.7机动目录上页下页返回结束洛必达法则第3章微分中值定理函数之商的极限导数之商的极限转化洛必达法则洛必达目录上页下页返回结束本节内容概述：Cauchy中值公式3.7.1未定型的分类设未定型一般分为以下几类：1.商类：Ⅰ.（─型）若Ⅱ.（─型）若2.积类：Ⅲ.（─型）若＊3.和类：Ⅴ.（─型）若Ⅳ.(─型）若4.幂类：Ⅵ.（─型）若Ⅶ.（─型）若3.7.2商类洛比达法则定理：(洛必达法则)机动目录上页下页返回结束─型设在内有定义

2、，均可导且存在(收敛或者∞)；ⅰ）ⅱ）ⅲ）若(位于证明:取*此时显然在以Cauchy定理的条件，为端点的闭区间上满足机动目录上页下页返回结束此时，由ⅱ）知在内必连续，是的可去间断点，在内必连续。之间）ⅲ）由ⅰ）知令故C-公式2°取＊此时，由类似地，可证*取另外四种情形时定理也是成立的。证毕例1.解:原式注意:不是未定式不能用洛必达法则!机动目录上页下页返回结束求例2.解:原式思考:如何求(n为正整数)?机动目录上页下页返回结束求例3.解:原式例4.解:原式计算计算例5.解:在处二阶可导，设函数计算极限

3、原式定理(洛必达法则)设函数内有定义，都在均存在，且存在ⅰ）ⅱ）ⅲ）─型若（收敛或者∞）；证明：收敛的情形:从而机动目录上页下页返回结束1）先证考虑取*收敛于一非零的常数，（ⅰ）若则有（ⅱ）若则取常数由⑴中结论机动目录上页下页返回结束2)再证的情形：完全类似:分别取之一时,只须将定理中的条件2)作相应的修改,定理仍然成立。定理2目录上页下页返回结束由已证1）的（ⅱ）得：从而*为定理证毕例6.解:原式例7.解:原式机动目录上页下页返回结束（其中：均为常数）求求（其中：为常数）例8.求解:原式但原极限：例9

4、.求解:原式但原极限：(发散)(循环)（收敛）（收敛）3.7.3其他未定式的定值法解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例5.解:原式机动目录上页下页返回结束未定式的形式：计算（其中：μ﹥0为常数）解:原式例10.求机动目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例11.求解:例5目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例12.求解:注意到～原式机动目录上页下页返回结束例13.求分析:为用洛必达法则,必须改求法1用洛必达法则但对本题用此法计算很繁!法2～原式例3目录上页下页返回结束对使用洛比

5、达法则的说明：1.法则只适应商类的不定式，其他类型的不定式，须化为商类后才能用该方法；2.法则可多次连续使用，但要注意满足定理的条件；3.数列极限可转化成相应函数的极限用此法则计算；4.使用该法则的过程中，要兼顾其它求极限的方法，将其综合使用；6.—型化为或视具体形式而定，使其导函数简单，便于极限的计算；5.当不存在或循环时，洛比达法则失效，但原极限仍可能存在；原则上是内容小结洛必达法则令取对数机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设是未定式极限,如果不存在,是否的极限也不存在?举例说明.极限说明目录上

6、页下页返回结束原式～分析:分析:3.原式～～机动目录上页下页返回结束则4.求解:令原式机动目录上页下页返回结束求下列极限:解:备用题机动目录上页下页返回结束令则原式=解:(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)机动目录上页下页返回结束解:原式=第三节目录上页下页返回结束例4.求(2)n不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数k,使当x>1时,机动目录上页下页返回结束洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法

7、的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出机动目录上页下页返回结束作业P1371(6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),4第三节目录上页下页返回结束定理（证:仅就极限收敛的情形加以证明.(洛必达法则)机动目录上页下页返回结束设内有定义，在均存在且存在；ⅰ）ⅱ）ⅲ）─型）若例3.例4.对洛比达法则的说明:1)例3,例4表明时,后者比前者趋于更快.例如,而用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下

8、洛必达法则不能解决计算问题.机动目录上页下页返回结束推论1.定理1中换为之一,推论2.若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法则定理1目录上页下页返回结束3)若例如,极限不存在机动目录上页下页返回结束