《D31导数概念》PPT课件

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1、第3章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)一元函数的微分学导数思想最早由法国数学家Fermat在研究极值问题中提出.英国数学家Newton3.1.1问题的引入3.1.2导数的定义§3.1机动目录上页下页返回结束导数概念第3章3.1.3导数的几何意义3.1.4可导性与连续性的关系3.1.1问题的引入1.变速直线运动的速度设一作直线运动的质点，自由落体运动机动目录上页下页返回结束则从到的平均速度为：而在时刻的瞬

2、时速度为：其运动方程(位置函数)为：2.非均匀细棒的线密度（单位长度所含的质量）设一非均匀细棒的质量函数为：当长度无限趋向于零时机动目录上页下页返回结束在长度为平均密度为：上的质量是：在细棒上任取一点l，和任一长度两个问题的共性:瞬时速度：线密度：所求量为函数增量与自变量增量之比的极限。类似问题还有:加速度：角速度：磁场强度：电流强度：是速度增量与时间增量之比的极限；是转角增量与时间增量之比的极限；是磁通量的增量与时间增量之比的极限；是电量增量与时间增量之比的极限；变化率问题机动目录上页下页返回结束

3、3.1.2导数的定义定义:收敛,记作：则称函数机动目录上页下页返回结束在点称为函数在点处的导数，处关于(对)x可导，若简称在点处可导；（函数的增量）称函数若发散，处不可导；在点Lagrange（拉格朗日）Leibniz(莱布尼兹)设函数称为记作：称函数机动目录上页下页返回结束在区间I里可导，显然有：称为函数在点处的左导数；称为函数在点处的右导数；收敛均收敛，且若函数在开区间均收敛，在闭区间则称函数在区间I里每一点(关于x)都可导，若函数的导函数.，简称为导数,内可导，且上可导。质量函数在点l处的线密

4、度：说明:在经济学中,消费指数增长率；边际成本率；边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看都是相应函数的导数。机动目录上页下页返回结束运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度：例1.求函数(C为常数)的导数；解:即例2.求幂函数解:机动目录上页下页返回结束的导数；即说明：当机动目录上页下页返回结束特别地：时，当时，当时，当时，例3.求函数的导数（其中：k为常数）.解:取机动目录上页下页返回结束得：取得：例4.求函数的导数。解:特别地，当取a=e时得：机动目录上页下页返回结束即：例5.求函数的导数。解:即：特

5、别地，当取a=e时得：机动目录上页下页返回结束例6.证明函数在点x=0处不可导.证:发散,例7.设收敛，解:原式机动目录上页下页返回结束即在点x=0处不可导。求极限3.1.3导数的几何意义曲线在点M处的切线割线MN的极限位置MT。割线MN的斜率切线MT的斜率：机动目录上页下页返回结束（当时）因曲线若则函数附近必上升;若则函数附近必下降;若切线与x轴平行,称为函数的驻点;若切线与x轴垂直.切线方程:法线方程:机动目录上页下页返回结束若收敛，在点的切线斜率：则曲线过点处有在点在点例8.问曲线在哪一点处有

6、垂直切线？处的切线与直线平行？解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为：即故在原点(0,0)有垂直切线：机动目录上页下页返回结束在哪一点并写出相应的切线方程。3.1.4函数的可导性与连续性的关系定理：证:设在点x处可导,收敛,因此必有其中:故所以函数在点x连续。注意：函数在点x连续未必可导。反例:在x=0处连续,但不可导。即机动目录上页下页返回结束在点x处可导，则在点x处必连续。函数内容小结1.导数的本质：3.导数的几何意义：4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学

7、求导公式：6.判断可导性函数不连续,一定不可导；直接用导数定义；看左、右导数是否收敛且相等。2.增量比的极限曲线机动目录上页下页返回结束收敛且均收敛；处可导）在给定点处切线的斜率;在点（思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数机动目录上页下页返回结束2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且机动目录上页下页返回结束5.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.机动目录

8、上页下页返回结束作业P852,5,6,9,13,14(2),16,18第二节目录上页下页返回结束牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.机动目录上页下页返回结束莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分