《ch9习题》PPT课件

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1、无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数第九章无穷级数1、常数项级数正项级数交错级数任意项级数2、函数项级数幂级数三角级数－－求收敛半径、收敛域、和函数－－傅氏级数函数项级数常数项级数一、数项级数的敛散性判定判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用其他判别法积分判别法部分和极限例1解根据级数收敛的必要条件，原级数发散．解根据比较判别法，原级数收敛．例2例3例4例5例6解即原级数非绝对收敛．由莱布尼茨定理：所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．定理

2、1(Abel定理)在以原点为中心的对称区间里绝对收敛.二、幂级数及其收敛性、和函数已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为定理2求幂级数收敛域的方法:1)对幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性,写出收敛域.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)一般可化为标准型再求收敛半径,(恒等变形或换元)也可直接用比值法或根值法求出收敛区间.再讨论端点的收敛性,写出收敛域.常用已知和函数的幂级数常见函数的关于x的幂级数展开式四、函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且

3、右端级数可逐项积分,则有①②定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有x为间断点其中为f(x)的傅里叶系数.x为连续点狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)以2l为周期的傅氏级数定理设周期为2l的周期函数f(x)满足Dirichlet充分条件，则f(x)的傅里叶级数在每点处收敛.且当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x).当x是f(x)的间断点时,级数收

4、敛于其中定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成例7解例5解例6解和函数的图形为例7解由上式得例8解例解测验题测验题答案