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1、Autumn2013Instructor:Y.Huangylhuang@nuist.edu.cnRoom721,ShangxianBuilding SchoolofMathematics&Statistics,NUISTPartialDifferentialEquationsCh4分离变量法正交函数系与广义Fourier级数施图姆-刘维尔特征值问题齐次方程与齐次边界条件的定解问题非齐次方程与齐次边界条件的定解问题非齐次边界条件的处理第3章讨论了无界或半无界问题，介绍了波动方程初值问题的求解方法。本章讨论有界问题，介绍解决有界问题的有效方法——分离变量
2、法。分离变量法来源于物理学中如下事实：它是求解数学物理定解问题的一种最普遍最基本的方法之一，适用于解一些常见区域(如有限区间、矩形域、圆域、长方体、球面、圆柱体等)上的混合问题和边值问题。机械振动总可以分解为具有各种频率和振幅的简谐振动的叠加；而每个简谐振动常具有的驻波形式，即可表示成只含变量x的函数与只含变量t的函数的乘积——变量分离。成为问题的解。因此，分离变量法又称为Fourier级数法，而在讨论波动方程时也被称为驻波法。求和的问题归结为求解常微分方程的边值问题(即特征值问题)，再利用初始条件确定各项中的任意常数使u(x,t)(比如傅里叶(Fo
3、urier)级数形式)由此得到启发，在解线性定解问题时可尝试满足齐次方程和齐次边界条件的具有变量分离形式的解的叠加1.正交函数系与广义Fourier级数1.1正交函数系三角函数系具有正交性,即其中任何两个不同函数的乘积在区间上的积分等于零.Def1.设有一族定义在[a,b]上的函数若满足则称该函数系是[a,b]上的正交函数系，简称正交系，常记为或例如,函数系为[-l,l]上的正交函数系。一个函数若积分存在，则称平方可积，记为数称为在中的范数。一个正交函数系若满足，则称为标准正交系。例如,函数系为上的标准正交系。Def2.设函数系在[a,b]上满足则称
4、该函数系在[a,b]上关于权函数正交。一个函数若积分存在，则称关于权函数平方可积。1.2广义Fourier级数定理1.设f(x)是以2l为周期的函数，如在[-l,l]上满足(1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)至多有有限个极值点，则在[-l,l]上f(x)可以展成傅里叶级数并且当x是f(x)的连续(或间断)点时，级数收敛f(x)(或)，其中特别地，当f是偶函数时，其中当f是奇函数时，其中定理2.设为定义在[a,b]上的一个关于权函数平方可积的正交函数系，f(x)是[a,b]上的给定函数且f(x)可表示成如下一致收敛的级数形式其中按照(4.2)确定
5、系数的方法得到的级数(4.1)，称为f(x)按关于权函数正交的函数系展开的广义傅里叶级数；由(4.2)确定的系数成为广义傅里叶系数。类似，可定义双变量正交函数系将f(x,y)按展开成广义傅里叶级数其中2施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)问题2.1二阶线性齐次常微分方程的求解求解特征值问题时，常遇到二阶线性齐次常微分方程的求解问题。对二阶常系数线性齐次常微分方程的求解问题。可利用特征根法求解。设(4.3)对应的特征方程的两个根为根据的不同情形，有下面的结论：当为相等实根时，当为共轭复根时，对于二阶变系数欧拉(Euler)方程若令可将其化为
6、关于t的常系数方程再用特征根法求解，最后用回代，得到关于x的解。当为相异实根时，2.2二阶线性齐次偏微分方程问题的变量分离解通过变量代换，二阶线性常系数齐次偏微分方程及一维情形下的线性齐次边界条件总可化为如下标准形式：其中a,b,c,d,e,k,l都是常数，且a,b不全为零，k,l不全为零。例如,当a=-b时为双曲型，a=0或b=0时为抛物型，a=b时为椭圆型；当l=0时为Dirichlet边界，k=0时为Neumann边界，k,l时为Robin边界。下面求解其变量分离形式的非零解u(x,y)=X(x)Y(y).将u代入泛定方程，得即上式左端仅是x的
7、函数，右端仅是y的函数。欲对所有变量x,y均相等，两端必为常数，记作于是即化为了两个常微分方程。将u代入边界条件，有欲求非零解u(x,y)，应有故需因此，欲求解偏微分方程问题(1.4),只需：先解常微分方程的边值问题得到及其对应的非零X(x);再将代入结合其他定解条件求解非零Y(y)。2.3Sturm-Liouville问题(1)Sturm-Liouville方程在分离变量法中，常遇到下面含参数的二阶线性齐次常微分方程其中乘上适当的函数后,(4.5)可化为事实上，将(4.5)式两端同乘以函数有(4.6)式可写成比较两式，可得从而即其中是[a,b]中任
8、一点。进而方程(4.6)称为施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)方程，简记S-L方程，其中为实函
