数字信号处理_证明题(32道)_1

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1、题干证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］，证明：DFT［X(n)］=Nx(N－k)答案证：因为：所以：由于：所以：DFT［X(n)］=Nx(N－k)k=0,1,…,N－1题干如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理：答案证:由IDFT定义式：可知：题干证明:若x(n)为实序列，则X(k)为共轭对称序列，即。答案证:由DFT的共轭对称性。将x(n)表示为　　　　　　x(n)=xr(n)+jxi(n)则：X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)其难：Xep(k)=

2、DFT［xr(n)］，是X(k)的共轭对称分量；Xop(k)=DFT［jxi(n)］,是X(k)的共轭反对称分量。所以：如果x(n)为实序列，则Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0，故X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)，即。题干证明：若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，且则X(k)也实偶对称。答案证明：由DFT的共轭对称性可知，如果　　　　　x(n)=xep(n)+xop(n)则：X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)

3、］=DFT［xop(n)］所以：当x(n)=x(N－n)时，等价于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。又实序列的DFT必然为共轭对称函数，即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以X(k)实偶对称。题干证明：若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，且则X(k)为纯虚函数并奇对称。答案证明：由DFT的共轭对称性可知，如果　　　　　x(n)=xep(n)+xop(n)则：X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］则：Re［X(k)］=D

4、FT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］所以：当x(n)=－x(N－n)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),为纯虚奇函数。题干证明频域循环移位性质：设X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)，则答案证：令m=k+l,则题干证明离散帕塞瓦尔定理。若X(k)=DFT［x(n)］，则答案证：题干若X

5、(K)=DFT[x(n)]N,证明X(K)是隐含周期的，其周期为N。答案证明：，题干其中:k,m为整数，N为自然数答案题干答案证明：题干答案证明：题干答案证明：题干答案证明：题干答案证明：题干证明:答案证明：题干证明：答案证明：题干证明：答案证明：题干证明：答案证明：题干证明答案证明：题干证明DFT的线性性质即：若则：其中：a、b为常数答案证明：题干证明FT的线性性质。即设X1(ejω)=FT［x1(n)］,X2(ejω)=FT［x2(n)］,那么式中,a，b是常数答案证明：题干将序列x(n)分成实部xr(n

6、)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：答案证明：实序列的Fourier变换具有共轭对称性题干将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：答案证明：虚数Fourier变换具有共轭反对称性题干证明：答案证明：序列x(n)的共轭对称部分xe(n)对应着X(ejω)的实部XR(ejω)题干证明：答案证明：序列x(n)的共轭反对称部分xo(n)对应着X(ejω)的虚部(包括j)。题干证明时域卷积定理，即设y(n)=x(n)*h(n)则：Y(ejω

7、)=X(ejω)H（ejω）答案证明：令k=n－m，则:题干设x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］，则答案证明：因此：题干设　w(n)=x(n)*y(n)　X(z)=ZT［x(n)］　　Rx－<

8、z

9、

10、z

11、

12、z

13、

14、x(n)+by(n)　　a,b为常数X(z)=ZT［x(n)］Rx-<

15、z

16、

17、z

18、

19、z

20、

21、z

22、