离散数学谓词逻辑

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1、2021/7/151第二章谓词逻辑在第一章,一个原子命题只用一个字母表示，而不再对命题中的句子成分细分。这样有一些逻辑问题无法解决。请看下面的例子。例1.令Ｐ：小张是大学生。Ｑ：小李是大学生。从符号Ｐ、Ｑ中不能归纳出他们都是大学生的共性。如果我们希望从所使用的符号那里得到更多的信息，比如可以看出他们的共性，则需要引进新的表示方法。问题提出Concept2021/7/152例2.令Ａ：所有自然数都是整数。Ｂ：８是自然数。Ｃ：８是整数。显然，由Ａ和Ｂ可以推出结论Ｃ。这个推理是有效的，但是这个推理在第一章也

2、是无法实现的。分析：命题Ｐ与Ｑ中的谓语是相同的(是大学生),只是主语不同。命题Ａ、Ｂ、Ｃ之间在主语谓语方面也是有联系的，靠这种联系才能由Ａ、Ｂ推出Ｃ。而从这三个符号上看不出此种联系。所以就要另外考虑表示命题的方法。Concept2021/7/153在表示命题时，同时表示出主语和谓语，就可以解决上述问题。这就提出了谓词的概念。令S(x)表示x是大学生，a:小张，b:小李则S(a):小张是大学生；S(b):小李是大学生。从符号S(a)、S(b)可看出“都是大学生”的共性。令N(x):x是自然数。I(x):

3、x是整数。表示所有的。A:x(N(x)→I(x))；B:N(8)；C:I(8)问题解决符号S(x)、N(x)、I(x)就是所谓的谓词。推理如此实现：N(8)→I(8)，N(8)I(8)Concept2021/7/1542-1基本概念客体与客体变元定义：能够独立存在的事物，称为客体，也称为个体。它可以是具体的，也可以是抽象的。通常用小写英文字母a、b、c、...表示。例如，小张、小李、8、a、沈阳、社会主义等等都是客体。定义：用小写英文字母x、y、z...表示任何客体，则称这些字母为客体变元。注意

4、：客体变元本身不是客体。Concept2021/7/155定义：谓词用来描述个体的性质或个体间的关系，用大写字母后加括号表示，括号内为客体变元。如果括号内有n个客体变元，称该谓词为n元谓词。例如：S(x):表示x是大学生。一元谓词G(x,y)：表示x>y。二元谓词B(x,y,z)：表示x在y与z之间。三元谓词谓词注意：S(x)、G(x,y)，B(x,y,z)表示的不是命题，而是命题函数。Concept2021/7/156一般地用P(x1,x2,…,xn)表示n元谓词。n元谓词也称简单命题函数，将若干个

5、简单命题函数用逻辑联结词联结起来，构成的表达式，称之为复合命题函数。简单命题函数与复合命题函数统称为命题函数。例如：给定简单命题函数：A(x)：x身体好，B(x)：x学习好，C(x)：x工作好则：复合命题函数A(x)→(B(x)∧C(x))表示如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好。命题函数Concept2021/7/157定义：在命题函数中命题变元的取值范围，称之为论域，也称之为个体域。例如：S(x):x是大学生，论域是:人类。G(x,y)：x>y，论域是:实数。定义：由所有客体构成的论域，

6、称之为全总个体域。它是个“最大”的论域。约定:对于一个命题函数，如果没有给定论域，则假定该论域是全总个体域。论域(个体域)Concept2021/7/158例如：有些人是大学生。所有事物都是发展变化的。“有些”,“所有的”,就是对客体量化的词。定义：命题中表示对客体数量化的词，称之为量词。量词的种类：(1).存在量词：记作，表示“有些”、“一些”、“某些”、“至少一个”等。(2).全称量词：记作，表示“每个”、“任何一个”、“一切”、“所有的”、“凡是”、“任意的”等。量词Concept2021/

7、7/159Concept定义：量词后边要有一个客体变元，指明对哪个客体变元进行量化，称此客体变元是量词后的指导变元。例如：x(读作“任意x”)，x(读作“存在x”)，其中的x就是量词后的指导变元。例题１.所有的自然数都是整数。设N(x)：x是自然数。I(x)：x是整数。此命题可以写成x(N(x)→I(x))2021/7/1510例题２.有些自然数是偶数。设E(x)：x是偶数。此命题可以写成x(N(x)∧E(x))例题3.每个人都有一个生母。设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命

8、题可以写成x(P(x)→y(P(y)∧M(x,y)))Concept2021/7/1511Objectfunction2-2谓词公式及命题符号化客体函数有些命题中，可能有若干个客体，其中有些客体之间有函数关系，例如：例题1.如果x是奇数，则2x是偶数。其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，则此命题可以表示为：x(O(x)→E(g(x)))2021/7/1512例题2小王的父亲