离散数学谓词逻辑.ppt

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1、第二章谓词逻辑数理逻辑命题逻辑:从语句来讲是不可再分谓词逻辑:将命题再细分在命题逻辑中,命题演算的基本单位是命题,不再对原子命题进行分解,故无法研究命题语句的结构、成份和内在的逻辑特征。如果任何两个原子命题具有一些共同特征,那么欲表达这些共同特征,显然是不可能的事。这就使得在命题逻辑中,甚至无法处理一些简单而又常见的推理过程。在命题的研究中,基于谓词分析的逻辑,称为谓词逻辑。谓词逻辑是命题逻辑的扩充和发展。本章重点1.谓词公式2.自然语言表述和谓词公式表示间的相互转化3.基于谓词公式的推理例子:我班有人能考上研究生。我班所有人都能考上研究生。经典例子苏格

2、拉底三段论:1)所有人都要死;2)苏格拉底是人;3)所以苏格拉底是要死的。设P:所有人都要死;Q:苏格拉底是人;R:苏格拉底是要死的。则前提:P,Q结论:R显然P∧QR不是永真式。引入谓词引入原因:1)克服原子命题的不可再分在性,将主语和谓语分开;2)原子命题不能描述数量关系。一、基本三要素个体与个体域:克服原子命题底不可再分性,可分为主语和谓语;个体:不依赖于人们的主观而独立存在的客观实体;是独立存在的客体,可以是具体事物也可以是抽象概念。个体域(D):个体取值的范围。全总个体域。谓词:用于刻画个体的性质或者个体间的关系;--谓词部分量词(、)量

3、词的辖域(作用域)个体谓词例如“猫是动物”一句中的“是动物”就是一个谓词,而“猫”是客体。“3大于2”中“大于”是一个谓词。3和2是客体。张三比李四高。用H(x,y)表示x比y高。a:张三b:李四H(a,b):张三比李四高H(b,a):李四比张三高谓词只涉及一个客体的谓词称为一元谓词,涉及两个客体的谓词称为二元谓词,涉及n个客体的谓词称为n元谓词。一般,如A表示谓词符号,用Xi表示第i个客体变项,则n元谓词表示为A(x1,…,xn)。谓词常项和谓词变项谓词常项: 表示某个确定判定的谓词称为谓词常项。如上述两个谓词"是动物"、"大于"。谓词变项: 尚未确定

4、的谓词称为谓词变项。例如用P(3,2)记一个谓词变项,可以表示“3大于2”、“3小于2”等等。n元谓词:在一个命题中,若有n个客体名称与谓词相联系,则称该谓词为n元谓词。 如上述“是动物”为一元谓词,因为只有“猫”这一个客体与之相联系。 而命题“3大于2”中的谓词“大于”与两个客体联结,是一个二元谓词。谓词与命题的关系一般来说,谓词不是命题,它的真值无法确定;为了使得它成为命题,必须:指定某一谓词常项代替P;指定n个个体常项a1,a2,…..,an分别代替n个个体变项x1,x2,…..,xn。例如:L(x,y)是一个2元谓词,它不是命题;当令L(x,y)

5、表示“x大于y”后,该谓词中的谓词部分便成了常项,但是它不是命题;当取a为2,b为3时,L(a,b)才是命题,并且是假命题。c为2,d为0时,L(c,d)是真命题。有时将不带个体变项的谓词称为0元谓词。0元谓词中的谓词的意义确定后,0元谓词是命题。使用谓词注意:(1)n元谓词中,客体变项的次序很重要。例:F(x,y)表示x是y的父亲,a:张三,b:张小明。F(a,b)表示张三是张小明的父亲。F(b,a)表示张小明是张三的父亲。(2)在讨论一个问题是必须先确定好个体域D。如不作限制,表示宇宙一切事物组成的个体,成为全总个体域。(3)同一个n元谓词,取不同的

6、个体,真假会不同。A(x):x是大学生。A(a)真值可能为真,而A(b)真值可能为假。(4)对于同一谓词,个体域D不同,真值可能也不同。例:对于A(x),x是大学生。如D={大学生全体},A(x)是重言式。如D={学生全体},A(x)是仅可满足式。如D={老鼠全体},A(x)是永假式。量词:有一个,存在,一些,some:所有的,全体,任意的,every,all量词的使用:一个量词后面紧跟着一个个体变元,不单独使用。xP(x),yQ(y),xyP(x,y)等。作用变元、指导变元量词的辖域xA(x),xA(x)例如:D=全班同学的集合。A

7、(x):今天x迟到了。xA(x)表示今天x迟到了。x∈D,从而x指同学。xA(x)表示今天有同学迟到了。xA(x)就表示为今天所有的同学都迟到了。显然,当D为有限集合时,D={a1,a2,……,an}xP(x)=P(a1)∨P(a2)∨……∨P(an)xP(x)=P(a1)∧P(a2)∧……∧P(an)二、将命题用0元谓词符号化例如:2是素偶数。如果2大于3,则2大于4。解题步骤:1)找出个体词、量词和谓词;2)符号化谓词和个体词;3)使用符号化的谓词和个体词以及联接词进行命题符号化。带量词命题的符号化例如:所有人都是要死的。有些人长寿。由于量

8、词和个体域之间有紧密的联系,在考虑命题符号化问题时,必须先明确个体域。(没有特别

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