学案4一元二次不等式及其解法

《学案4一元二次不等式及其解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、开始学案4一元二次不等式及其解法学点一学点二学点三学点四返回目录1.一般地，.叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的一般表达形式为.,其中a,b,c均为常数.3.一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：（1）(a>0);（2）（a>0）.上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2+bx+c=0的根确定.设Δ=b2-4ac,则：ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式返回目录①Δ>0时，方程a

2、x2+bx+c=0有两个的实数根x1,x2,设x12x-3;（4

3、）x2>2x-1;（5）3x2+5≤3x.【分析】利用一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的关系解不等式.返回目录【解析】返回目录返回目录【评析】一般地，解一元二次不等式，应先整理成ax2+bx+c>0（或<0）的形式，并使a>0，然后通过判别式Δ判断相应方程ax2+bx+c=0的根的情况，求出方程的根，最后可在草稿纸上画出示意图，写出解集.返回目录解：原不等式可变形为（x-a）(x-a2)＞0，则方程（x-a）（x-a2）=0的两个根为x1=a，x2=a2.当a＜0时，有a＜a2，∴x＜a或x＞a2,此时原不等式的

4、解集为{x

5、x＜a或x＞a2}；当0＜a＜1时，有a＞a2,∴x＜a2或x＞a,此时原不等式的解集为{x

6、x＜a2或x＞a};当a＞1时，有a2＞a,∴x＜a或x＞a2,此时原不等式的解集{x

7、x＜a或x＞a2}；当a=0时，有x≠0，解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3＞0.∴原不等式的解集为{x

8、x∈R且x≠0}；当a=1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x

9、x∈R且x≠1}.综上可知当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x

10、x＜a或x＞a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x

11、x＜a2或x＞a};当a=0

12、时，原不等式的解集为{x

13、x≠0}；当a=1时，原不等式的解集为{x

14、x≠1}.返回目录返回目录学点二一元二次不等式恒成立问题已知不等式mx2-2x-m+1＜0.(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足

15、m

16、≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.【分析】(1)由于二次项系数含有字母，所以首先讨论m=0的情况，而后结合二次函数图象求解.（2）转换思想将其看成关于m的一元一次不等式，利用其解集为［-2，2］求参数x有范围.【解析】返回目录返回目录【评析】（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变

17、量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在下方.返回目录返回目录若关于x的不等式＜2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.解:返回目录返回目录学点三　含参数的不等式的解法解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0.【分析】由于涉及参数字母，要分类讨论.【解析】原不等式整理得(x-a)(x-1)>0.∴原不等式可转化为下面两个不等式组来解：返回目录∴

18、当a>1时，原不等式的解集为{x

19、x>a或x<1};当a<1时，原不等式的解集为{x

20、x>1或x

21、x∈R且x≠1}.【评析】当得出后，由于a与1的大小不确定，为了使问题能够顺利解下去，应对a与1的大小关系进行讨论，讨论时，不要忽略“a=1”这种情况.解关于x的不等式：2x2+ax+2>0.解：返回目录返回目录学点四　根的分布【解析】关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2，求实数m的取值范围.返回目录返回目录图3-4-1返回目录【评析】本题是一元二次方程的实根分布问题

22、，充分反映了一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集三者之间的密切关系，是一个应用数形结合思想解题的典型实例。设a∈R，关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1,x2,且0