D25极限存在准则及两个重要极限

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1、二、两个重要极限一、极限存在准则第五节极限存在准则及两个重要极限第二章三、无穷小量的比较一、极限存在准则1.准则1（数列极限存在的夹逼准则）证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故例1.证明证:利用夹逼准则.且由2.函数极限存在的夹逼准则准则1’.且例2.求解:令则利用夹逼准则可知3.准则2(单调有界数列必有极限)(证明略)Mx1x5x4x3x2xna二、两个重要极限注圆扇形AOB的面积证:当即亦即时，显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积故有注如何计算：公式的推广：如果请公式的特点！注意例3.求解:例4.求解:令则因此原式注

2、意：变量代换也是一种很有用的方法例5.求解:原式=例6.已知圆内接正n边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用例7.求解:例8.求解:原式例.求解：因为所以，解例当时，求2.证:利用二项式公式,有大大正又比较可知根据准则2可知数列即有极限.又内容小结注:这个极限值被瑞士欧拉（Euler)首先用字母e表示，它是一个无理数,其值用e=2.7182818284……)来表示.2’.证:当时,设则当则从而有故说明:此极限也可写为:时,令更一般地有:例9.求解:令则说明：若利用则原式例10.求解:原式=例11求极限解例11(复利息问题)设银行将数量为A0的

3、款贷出,每期利率为r.若一期结算一次,则t期后连本带利可收回若每期结算m次,则t期后连本带利可收回现实生活中一些事物的生长(r>0)和衰减(r<0)就遵从这种规律,而且是立即产生立即结算。例如细胞的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的衰减等。若按连续复利(将利息记入本金,时刻结算本利和的方法)计算：实质上就是每期的结算次数时的本利和贴现问题与此相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴现问题。这时利率r称为贴现率。连续的贴现公式为：若称A0为现在值，At为未来值，已知现在值求未来值是复利问题:由复利公式，容易推得离散的贴现公式为:例12设年利

4、率为6.5％，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元？解：贴现率r=6.5％，未来值At=1200，t=16。现在值：都是无穷小,引例.但可见无穷小量趋于0的速度是多样的.三、无穷小的比较定义.例如,当若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作例1.证明:当时,～证:～例2.证明:证:目录上页下页返回结束因此即有等价关系:说明:上述证明过程也给出了等价关系:～～定理1.证:即即例如,～～故定

5、理2.设且存在,则证:例如,等价无穷小替换定理：注:此定理表明,求两个无穷小量积或商的极限时,如果分子（或分子的乘积因子）或分母（或分母的乘积因子）的等价无穷小量存在,则就可用它们各自的等价无穷小量来代换原来的分子或分母（或分子或分母的乘积因子）,使计算简化。例如,例3.求解:原式例4.求解:例5.例6.例7若，求a.解：所以，a=2.例8若【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.注：一般地，已知解思考题：已知，求解因为，则所以，，利用等价无穷小替换得从而常用等价无穷小:第八节常用等价无穷小:注:代表相同的表达式内容小结数列极限存在的夹逼准则

6、函数极限存在的夹逼准则1.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;2.两个重要极限或注:代表相同的表达式3.无穷小的比较设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小故极限存在，思考题1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则2.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法