D117傅立叶级数(III)

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1、第七节一、三角级数及三角函数系的正交性机动目录上页下页返回结束二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数第十一章傅里叶级数10/7/2021阜师院数科院一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院定理1.组成三角级数的函数系证:同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜

2、师院数科院上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院二、函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证:由定理条件,①②对①在逐项积分,得机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院(利用正交性)类似地,用sinkx乘①式两边,再逐项积分可得机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数.称为函

3、数傅里叶目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有x为间断点其中(证明略)为f(x)的傅里叶系数.x为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为解:先求傅里叶

4、系数将f(x)展成傅里叶级数.机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图.机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:设f(x)是周期为2的周期函数,它在机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院说明:当时,级数收敛于机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院周期延拓傅里叶展

5、开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法其它机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院例3.将函数级数.则解:将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得说明:机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院设已知又机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.对

6、周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院例4.设的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2的周期函数,它在解:若不计周期为2的奇函数,因此机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜

7、师院数科院例5.将周期函数展成傅里叶级数,其中E为正常数.解:是周期为2的周期偶函数,因此机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院2.在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院例6.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,机动目录

8、上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数机动目录上页下页返回结束因此得f(x)=x+1的值不同.10/7/2021阜师院数科院再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院说明:令x=0可得即机动目录上页下页返回结束10/7/2021阜师院数科院内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:若为间断点,则