D117傅立叶级数(改

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1、欧拉(1707–1783)瑞士数学家.他写了大量数学经典著作,如《无穷小分析引论》,《微还写了大量力学,几何学,变分法教材.他在工作期间几乎每年都完成800页创造性的论文.他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理》,《积分学原理》等,为分析学的重在数学的许多分支中都有以他的名字命名的重要常数,公式和定理.目录上页下页结束8/31/20211目录上页下页结束幂级数的应用十分广泛，例如可用于近似计算，表示非初等函数，解微分方程等。前面我们看到，幂级数的一般项形式简单，便于进行微分、积分

2、运算，将函数写成幂级数形式便于进行数值分析、计算等。第五节函数幂级数展开式的应用第十一章一、近似计算二、欧拉公式本节介绍：8/31/20212一、近似计算(仅讲例1,3,5)例1.计算的近似值,精确到解:目录上页下页结束8/31/20213例3.利用求误差.解:先把角度化为弧度(弧度)误差不超过的近似值,并估计目录上页下页结束8/31/20214例5.计算积分的近似值,精确到解:由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在x=0处的值为1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:目录上页下页结束8/31/20215二、欧拉(Euler)公式则称①

3、收敛,且其和为绝对收敛收敛.若收敛,若对复数项级数①绝对收敛则称①绝对收敛.由于,故知目录上页下页结束8/31/20216定义:复变量的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛.当y=0时,它与实指数函数当x=0时,的幂级数展式一致.目录上页下页结束8/31/20217（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式则目录上页下页结束8/31/20218据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证特别有目录上页下页结束8/31/20219一、三角级数及三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数第十一章第七节傅里叶

4、级数目录上页下页结束8/31/202110一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.目录上页下页结束8/31/202111证:同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在目录上页下页结束定理1.三角级数的函数系8/31/202112上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在目录上页下页结束8/31/202113二、函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且右端级数可逐

5、项积分,则有证:由定理条件,①②对①在逐项积分,得目录上页下页结束8/31/202114(利用正交性)类似地,用sinkx乘①式两边,再逐项积分可得目录上页下页结束8/31/202115叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数.称为函数目录上页下页结束8/31/202116定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有x为间断点其中(证明略

6、)为f(x)的傅里叶系数.x为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.目录上页下页结束8/31/202117例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为解:先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.目录上页下页结束8/31/202118目录上页下页结束8/31/2021191)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图.目录上页下页结束8/31/202120例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:设f(x)是周期为2的周期函数,它在目录上页下页结束8/31/2021

7、21说明:当时,级数收敛于目录上页下页结束8/31/202122周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法其它目录上页下页结束8/31/202123例3.将函数级数.则解:将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),目录上页下页结束8/31/202124利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得说明:目录上页下页结束8/31/202125设已知又目录上页下页结束8/31/202126三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.对周期为2的奇函数f(x

8、),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为目录上页下页结束8/31