分析力学基础第一章（4-6节

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1、§1-4第二类拉格朗日方程§1-4第二类拉格朗日方程设：具有完整理想约束的非自由质点系有k个自由度，系统的广义坐标为：对上式两边求变分，有：注意：代入动力学普遍方程：有：§1-4第二类拉格朗日方程对于完整约束系统，广义坐标相互独立，有第二项与广义力对应，称为广义惯性力做两个变换（证明略）：有：§1-4第二类拉格朗日方程得第二类拉格朗日方程：§1-4第二类拉格朗日方程例：建立质量为m的质点在重力作用下的动力学方程解：1、系统的自由度为k=32、系统的广义坐标：x,y,z3、系统的动能：4、系统的广义力：§1-4第二类拉格朗日方程§1-4第二类拉格朗日方程例：长

2、为l，质量为m的匀质杆绕水平轴B转动，求其动力学方程解：1、系统的自由度为k=12、系统的广义坐标：3、系统的动能：4、系统的广义力：§1-4第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程的几种形式1、当主动力均为有势力时设：L=T-V(拉格朗日函数动势)§1-4第二类拉格朗日方程例：长为l，质量为m的匀质杆绕水平轴B转动，求其动力学方程解：1、系统的自由度为k=12、系统的广义坐标：3、系统的动能：4、系统的势能：5、拉格朗日函数：§1-4第二类拉格朗日方程2、当主动力包括非有势力时设：L=T-V(拉格朗日函数)应用拉格朗日方程建立系统动力学的基本步骤：1、确定系统

3、的自由度和广义坐标2、用广义速度和广义坐标给出系统的动能和势能3、给出系统的拉格朗日函数4、确定系统的广义力§1-4第二类拉格朗日方程例：图示机构在铅垂面内运动，匀质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统的运动微分方程。AB=2l解：1、系统的自由度k=2，系统的广义坐标2、系统的动能和势能§1-4第二类拉格朗日方程3、求非有势力的广义力4、建立系统运动微分方程§1-4第二类拉格朗日方程4、建立系统运动微分方程§1-5拉格朗日方程的初积分一、能量积分设：系统主动力为有势力如果保守系统，且所受约束均为定常约束，拉格朗日方程中不显含时间t即这就是保守系统的机械能守恒

4、定律，也称为拉格朗日方程的广义能量积分对两端乘以，并对k求和，得§1-5拉格朗日方程的初积分二、循环积分设：系统主动力为有势力循环坐标：拉格朗日方程中不显含的广义坐标qk(k=1,…,N)拉格朗日函数：则该式称为循环积分pk称为对应于广义坐标qk(k=1,…,N)的广义动量pk可以是动量、也可以是动量矩§1-5拉格朗日方程的初积分例：给出拉格朗日方程的初积分解：系统的主动力为有势力系统的动能和势能分别为：拉格朗日函数不显含广义坐标x和时间t§1-5拉格朗日方程的初积分循环积分——系统的水平动量守恒能量积分——机械能守恒§1-6第一类拉格朗日方程§1-6第一类

5、拉格朗日方程设描述系统的位形坐标：系统的约束方程为：对上式取变分：引入拉格朗日乘子对k求和§1-6第一类拉格朗日方程系统的约束方程为：交换求和顺序比较动力学普遍方程两式相减，有：§1-6第一类拉格朗日方程对于完整约束系统，选取合适的乘子，使带拉格朗日乘子的质点系动力学方程，即第一类拉格朗日方程§1-6第一类拉格朗日方程解：1、系统的约束方程2、约束方程对各质点坐标的梯度项为：例：质量为m的质点被约束在光滑的水平轴y上运动，用第一类拉格朗日方程建立系统的运动微分方程§1-6第一类拉格朗日方程2、约束方程对各质点坐标的梯度项为：§1-6第一类拉格朗日方程2、约束

6、方程对各质点坐标的梯度项为：3、主动力：4、惯性力：对求二阶导数，有：§1-6第一类拉格朗日方程第一章分析力学基础广义坐标：描述质点系在空间中位置的独立参数自由度：广义坐标的数目即在双侧、完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目广义虚位移：为广义坐标的变分，称为广义虚位移第一章分析力学基础求广义力的方法：法一：解析法法二：几何法法三：保守系统动力学普遍方程第一章分析力学基础第二类拉格朗日方程1、当主动力均为有势力时2、当主动力均为非有势力时当系统为保守系统时，有：1、若系统存在循环坐标q，则：2、若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则：第一章分析力学基

7、础第一类拉格朗日方程