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1、第一章分析力学基础理论力学(II)第三部分动力学第一章第一章分分析析力力学学基基础础2009年12月29日1第一章分析力学基础第一章分析力学基础1687年，牛顿发表《自然哲学的数学原理》。⎯⎯奠定了经典力学的基础。此后向两个方向发展：1)扩大研究范围；（法国达朗贝尔，瑞士欧拉等）2)寻求新的表达形式——建立了分析力学的理论体系。（瑞士伯努利，法国拉格朗日，英国哈密顿等）拉格朗日的研究目标：1)寻求不含理想约束力的动力学方程组；2)寻求方程个数最少的动力学方程组。2第一章分析力学基础本章内容：本章内容：§1–1自由度和广义坐标§1–2以广义坐标表
2、示的质点系平衡条件§1–3动力学普遍方程§1–4第二类拉格朗日方程§1–5拉格朗日方程的初积分§1–6第一类拉格朗日方程3第一章分析力学基础§1–1自由度和广义坐标§1-2以广义坐标表示的质点系平衡条件一、以广义坐标表示的虚功方程解析形式的虚功方程为：n∑(Fxiδxi+Fyiδyi+Fziδzi)=0i=1由广义坐标表示的虚位移为:N∂xNδx=iδq,∂yii∑kδyi=∑δqkk=1∂qkk=1∂qk4第一章分析力学基础n∑(Fxiδxi+Fyiδyi+Fziδzi)=0i=1由广义坐标表示的虚位移为:NN∂x∂yiiδxi=∑δqk,δ
3、yi=∑δqkk=1∂qkk=1∂qkN∂ziδzi=∑δqkk=1∂qk将广义坐标表示的虚位移代入虚功方程，有：n∑(Fxiδxi+Fyiδyi+Fziδzi)=i=15第一章分析力学基础n∑(Fxiδxi+Fyiδyi+Fziδzi)i=1nNN∂xi∂yi=∑∑(Fxiδqk+Fyi∑δqki==11k∂qkk=1∂qkN∂zi+Fzi∑δqk)k=1∂qkNn∂x∂y∂ziii=∑∑[(Fxi+Fyi+Fzi)]δqkk==11i∂qk∂qk∂qk6第一章分析力学基础Nn∂x∂y∂ziii=∑∑[(Fxi+Fyi+Fzi)]δqk=0k
4、==11i∂qk∂qk∂qkn∂x∂y∂z记:Q=∑(Fi+Fi+Fi)kxiyizii=1∂qk∂qk∂qk⎯⎯对应于广义坐标q的广义力k则虚功方程可表示为:N∑Qk⋅δqk=0k=1因各广义虚位移δq是独立的，所以有k7第一章分析力学基础则虚功方程可表示为:N∑Qk⋅δqk=0k=1因各广义坐标的虚位移是独立的，所以有Q=0(k=1,2,L,N)k即：具有理想、定常、双面约束的质点系，在某一位置保持平衡的充要条件是，对应于每一广义坐标的广义力都等于零。⎯⎯用广义坐标表示的平衡条件8第一章分析力学基础二、广义力的计算n∂x∂y∂ziiiQk=
5、∑(Fxi+Fyi+Fzi)i=1∂qk∂qk∂qk⎯⎯很麻烦，一般不用此方法。©通常的计算方法计算Q时，令δq≠0，其它的广义虚位移全为零，kk在这样的一组虚位移上，所有主动力所作的虚功之和为δWk′=Qkδqk9第一章分析力学基础计算Q时，令δq≠0，其它的广义虚位移全为零，kk在这样的一组虚位移上，所有主动力所作的虚功之和为δWk′=QkδqkδW′Q=kkδqk©计算广义力的步骤ò令δqk≠0，其它的广义虚位移全为零；ò计算所有主动力在这样一组虚位移上的虚功之和；ò将求出的虚功之和除以δqk，或令δqk=1。10第一章分析力学基础[例1
6、-1]求广义力已知均质轮:m,r,均质杆:m,l,δθ12o常力偶矩M,以x,ϕ为广义坐标。xAM试求：Qx，Qϕ。mgδx1ϕ解：取系统，所受主动力如图。（1）求QxCδrC设：δx≠0,δϕ=0mg2B则各虚位移如图，虚功为δxδx=1MδWx′=Mδθ=MQx=rr11第一章分析力学基础（1）求Qx设：δx≠0,δϕ=0oxMAMQ=δϕxmgr1δr（2）求QϕCϕϕ设：δx=0,δϕ≠0C则各虚位移如图，虚功为m2gBδW′=−mgδrsinϕϕ2Clδϕ=11=−mgδϕsinϕQ=−mglsinϕ22ϕ2212第一章分析力学基础三
7、、有势力的广义力1.有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标的偏导数冠以负号势能是位置的函数，可以表示为坐标的函数。设有势力作用点从点M运动到邻近点M'，这两点的势能分别为：V(x,y,z)V(x+dx,y+dy,z+dz)则有势力的元功:δW=V(x,y,z)−V(x+dx,y+dy,z+dz)13第一章分析力学基础则有势力的元功:δW=V(x,y,z)−V(x+dx,y+dy,z+dz)=−dV由高等数学，势能的全微分为:∂V∂V∂VdV=dx+dy+dz∂x∂y∂z∂V∂V∂V所以δW=−dx−dy−dz∂x∂y∂z而元功的直角坐标形
8、式为δW=Fdx+Fdy+Fdzxyz14第一章分析力学基础∂V∂V∂VδW=−dx−dy−dz∂x∂y∂zδW=Fdx+Fdy+Fdzxyz比较上两
