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1、第2章一元函数微分学及其应用第1节导数的概念第2节求导基本法则第3节微分第4节微分中值定理及其应用第5节Taylor定理及其应用第6节函数性态的研究2008年11月3日1南京航空航天大学理学院数学系第2节求导基本法则1函数的求导法则、初等函数的求导问题2高阶导数由参数方程所确定的函数的求导法则5相关变化率问题3隐函数求导法2008年11月3日2南京航空航天大学理学院数学系(定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题1函数的求导法则、初等函数的求导问题2008年11月
2、3日3南京航空航天大学理学院数学系定理2.1的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且(C为常数)和、差、积、商的求导法则2008年11月3日4南京航空航天大学理学院数学系此法则可推广到任意有限项的情形.证:设,则故结论成立.例如,2008年11月3日5南京航空航天大学理学院数学系(2)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)2008年11月3日6南京航空航天大学理学院数学系(3)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)2008年11月3日7南京航空航天大学理学院数学系例1求证证类似可证:2
3、008年11月3日8南京航空航天大学理学院数学系反函数求导法则定理2.32008年11月3日9南京航空航天大学理学院数学系证在x处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此2008年11月3日10南京航空航天大学理学院数学系例2求反三角函数及指数函数的导数.解1)设则类似可求得利用,则2008年11月3日11南京航空航天大学理学院数学系2)设则特别当时,小结2008年11月3日12南京航空航天大学理学院数学系复合函数的链式法则链式法则关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.2008年11月3日
4、13南京航空航天大学理学院数学系证在点u可导,故（当时)故有2008年11月3日14南京航空航天大学理学院数学系例3解例4解2008年11月3日15南京航空航天大学理学院数学系例5求下列导数:解(1)(2)说明:类似可得2008年11月3日16南京航空航天大学理学院数学系例6设解记则(反双曲正弦)的反函数2008年11月3日17南京航空航天大学理学院数学系初等函数的求导问题由前面得到的基本初等函数的求导公式以及运算法则，可以得到全体初等函数的导数见课本102页四则运算复合函数反函数2008年11月3日
5、18南京航空航天大学理学院数学系基本导数公式（基本初等函数的导数公式）2008年11月3日19南京航空航天大学理学院数学系幂指函数的导数2008年11月3日20南京航空航天大学理学院数学系例7求下列导数:解(1)2008年11月3日21南京航空航天大学理学院数学系EX求下列函数的导数6.设其中可导,求2008年11月3日22南京航空航天大学理学院数学系1.解:解:2008年11月3日23南京航空航天大学理学院数学系解:2008年11月3日24南京航空航天大学理学院数学系解:关键:搞清复合函数结构由外向
6、内逐层求导2008年11月3日25南京航空航天大学理学院数学系5.解:2008年11月3日26南京航空航天大学理学院数学系6.设解:其中可导,求2008年11月3日27南京航空航天大学理学院数学系定义若函数的导数可导,或即或的二阶导数,记作的导数为则称2高阶导数1、高阶导数的概念2008年11月3日28南京航空航天大学理学院数学系类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或依次类推,分别记作2008年11月3日29南京航空航天大学理学院数学系设求解依次类推,例1思考设问可得直接法-
7、-由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2008年11月3日30南京航空航天大学理学院数学系例2设求解特别有:解规定0!=1思考例3设求2008年11月3日31南京航空航天大学理学院数学系注意：求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)例4解同理可得2008年11月3日32南京航空航天大学理学院数学系例5解2008年11月3日33南京航空航天大学理学院数学系莱布尼兹（Leibniz）公式2、高阶导数的运算法则2008年11月3日34南京航空航天大学理学
8、院数学系用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.2008年11月3日35南京航空航天大学理学院数学系例6解2008年11月3日36南京航空航天大学理学院数学系例7.设求解即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由得2008年11月3日37南京航空航天大学理学院数学系常用高阶导数公式间接法:利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.2008年11月3日38南京航空航天大学理学院数学系例8解2008年11月3日39南京航空航天大学理学院数学系
