贝叶斯公式的几个简单应用

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1、第27卷第2期大学数学Vol.27,№.22011年4月COLLEGEMATHEMATICSApr.2011贝叶斯公式的几个应用杨静1,陈冬1,程小红2(1.北京联合大学基础部,北京100101;2.首都师范大学初等教育学院,北京100080)[摘要]介绍了贝叶斯公式的一些应用实例及分析,以使在教学中能帮助学生更深入地理解该公式.[关键词]贝叶斯公式;应用;案例[中图分类号]O211[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2011)02-0166-04在一般的《概率统计》课程的教学中,都会涉及到贝叶斯公式.遗憾的是,多数教材对该公式的探讨都点到为止

2、.同时,教材中所涉及到的应用又都过于单调.据此,本文拟对由贝叶斯公式得到的结论作更深入的探讨以及提供更多类型的应用.通过贝叶斯公式,我们看到,某些看似合理的结论却往往蕴含着不合理.1贝叶斯公式贝叶斯公式是英国学者托马斯·贝叶斯(ThomasBayes,1702-1761)最早发现的,首次发表在1763年,当时贝叶斯已经去世,其结果没有受到应有的重视.1774年,法国数学家拉普拉斯(P.-s.Laplace,1749-1827)再一次总结了这一结果.此后,人们逐渐认识到这个著名概率公式的重要性.现在,它已在疾病诊断、安全监控、质量控制、安全部门的招募、药剂检

3、测等方面发挥着重要的作用.贝叶斯公式若事件B1,B2,…,Bn是样本空间Ψ的一个划分,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),A是任一事件且P(A)>0,则有P(BjA)=P(Bj)P(ABj)(j=1,2,…,n),(1)P(A)其中,P(A)可由全概公式得到.即nP(A)=∑P(Bi)P(ABi).i=1本文主要应用贝叶斯公式的一种简单情形,即对任意两个事件A和B,根据贝叶斯公式有P(BA)=P(B)P(AB),P(A)其中(2)(3)P(A)=P(B)P(AB)+P(B)P(AB).(4)这里,事件B的概率通常是根据以往的数据分析得到的,叫作先验概率

4、,而P(BA)是在获得新的信息后对先验概率作出重新的认识,称为后验概率[1].后验概率体现了已有信息带来的知识更新,经常用来分析事件发生的原因.[收稿日期]2008-05-26[基金项目]“十一五”国家课题“我国高校应用型人才培养模式研究”数学类子课题项目(FIB070335-A2-15-C)第2期杨静,等:贝叶斯公式的几个应用1672贝叶斯公式的应用1.疾病诊断.贝叶斯公式在疾病诊断方面的应用很多,一般教材多采用这方面的例子.在此,我们引入两个案例.并通过第一个案例,对最后的结果进行详尽的讨论.资料显示,某项艾滋病血液检测的灵敏度(即真有病的人检查为阳性

5、)为95%,而对没有得病的人这种检测的准确率(即没有病的人检查为阴性)为99%.美国是一个艾滋病比较流行的国家,估计大约有千分之一的人患有这种病.为了能有效地控制、减缓艾滋病的传播,几年前有人建议对申请新婚登记的新婚夫妇进行这种血液检查.该计划提出后,征询专家意见,遭到专家的强烈反对,计划没有被通过.现在我们用贝叶斯公式分析专家为何反对通过这项计划.设A={检查为阳性},B={一个人患有艾滋病}.根据文中叙述可知,P(B)=0.001,P(A│B)=0.95,P(B)=1-0.001=0.999,P(A│B)=1-0.99=0.01.由(4)得P(A)=0

6、.001×0.95+0.999×0.01=0.01094.根据公式(3),得到P(BA)=0.001×0.95≈0.087.0.01094也就是说,被检测患有艾滋病而此人确实患有该病的概率大约为0.087.这个结果使人难以接受,好像与实际不符.从资料显示来看,这种检测的精确性似乎很高.因此,一般人可能猜测,如果一个人检测为阳性,他患有艾滋病的可能性很大,估计应在90%左右,然而计算结果却仅为8.7%.如果通过这项计划,势必给申请登记的新婚夫妇带来不必要的恐慌.因为约有91.3%的人并没有患艾滋病.为什么会出现与直觉如此相悖的结果呢?这是因为人们忽略了一些基

7、础信息,就是患有艾滋病的概率很低,仅为千分之一.因此,在检测出呈阳性的人中大部分是没有患艾滋病的.具体的说,若从该地随机抽取1000个居民,则根据经验概率的含义,这1000个居民中大约有1人患有艾滋病,999人未换艾滋病.检查后,大约有1×0.95+999×0.01=10.94个人检查为阳性,而在这个群体中真正患有艾滋病却仅有1人.因此有必要进行进一步的检测.但是,我们也应该注意到,这项检测还是为我们提供了一些新的信息.计算结果表明,一个检测结果呈阳性的人患有艾滋病的概率从最初的0.001增加到了0.087,这是原来患有艾滋病概率的87倍.进一步的计算,我

8、们得到一个检查呈阴性而患有艾滋病的概率为P(BA)=P(B)P(A