贝叶斯公式的应用

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1、贝叶斯公式的应用1综述在U常生活屮，我们会遇到许多由因求果的问题，也会遇到许多由果溯因的问题。比如某种传染疾病已经出现.寻找传染源；机械发生了故障，寻找故障源就是典型的南果溯因问题等。在一定条件十这类由果溯因问题可通过W叶斯公式来求解。以T的例子来说明贝叶斯公式的应用。贝叶斯公式的定义给出了事件B随着两两互斥的事件a,，a2，...，人中某一个出现而出现的概率。如果反过来知道事件B已出现，但不知道它由于冬軋...，'中那一个事件出现而与之同时出现，这样，便产生丫在事件5已经出现出现的条件下，求事件/^=1，2，..72)出现的条件概率的问题，解决这类问题有如下公式：2

2、定义设，…，坟为Q的一个分割，即S,S2，…，氏互不相容，且=£2,如果＞/=10,尸(B,)=00=1,2,...,/!)，则P(g,.M)=，Z=1，2,…，no7=1贝叶斯公式在市场预测中的应用我们知道，国外的旧车市场很多。出国留学或访问的人有时花很少的钱就可以买一辆和当不错的车，开上儿年也没问题。但运气不好时，开不了儿天就这儿坏那儿坏的，修车的钱是买车钱的好几倍，经常出毛病带来的烦恼就史别提了。为了帮助买IH车的人了解各种IH车的质量和性能，岡外出版一种专门介绍各品牌IH车以及各年代不同车型各主要部件质量数据的旧车杂志。比如有个买主想买某种型号的旧车，他从旧车杂

3、志上可发现这种旧车平均有30%的传动装置有质量问题。除了从旧车杂志上寻找有关旧车质量的信息外，在旧车市场上买旧车时还需要有愦车的内行來帮忙。比如可以找会修车的朋友帮助开一开，检查各主耍部件的质暈。因为旧车杂志上给出的是某种车辆质量的平均信息，就要买的某一辆来讲可能是好的传动装置，也可能会有问题。比较常见的方法是花一点钱请个汽车修理工帮助开几圈，请他帮助判断一不传动装置和其他部件的质量。当然，尽管汽车修理工很有经验，也难免有判断不准的吋候。假定从过去的记录知道某个修理工对于传动装置有间题的车，其屮90%他可以判断出有问题，另有10%他发现不了其中的问题。对于传动装置没问题

4、的车，他的判断也差不多同样出色，其中80%的车他会判断没问题，另外的20%他会认为宥问题，即发生判断的错误。根据这些已知信息请你帮助买主计算如下的W题：1、若买主不雇用修理工，他买到一辆传动装置有问题的车的概率是多少？2、若买主花钱雇修理工帮他挑选和判断，当修理工说该车“传动装置有问题”时该车传动装置真有W题的概率是多少？3、当修理工说该车“传动装置没问题”时而该车传动装置真有问题的概率是多少？解1、问题是简单的，即有30%的uj能性买到一辆有传动装置间题的旧车，我们在这里只利用旧车杂志的信息。第2问和第3问是W叶斯估计或者利用W叶斯公式进行决策的问题。2、我们知道，贝

5、叶斯公式是个条件概率的公式，即^P（Ay.）P（fi/Ay）7=1其屮//5）称为事件的后验概率，即在已知事件《发生条件'卜*事件发生的概率；P（AZ）是事件的先验概率；P（B/AZ）称为样本信息，即在欢发生条件下事件的概率。对于第2问，我们不妨令：砟=实际有问题，名=实际没问题=修理工判断“有问题”，B2=修理工判断“没问题”则口」*将贝叶斯公式改写成：P（实际有问题/修理工判断“有问题”）=P（实际有问题）P（修理工判断“有M题”/实际有闷题）（实阮权问题）P（修理工判断“釘M题”/实际初问题）+P（实际没问题）P（修理工判断“侖问题”/实际没闷题）P⑷尸（什/A,

6、）根据已知条件，计算式屮芥项的概率分别为：尸（八）=戸（实际有问题）=0.3尸（4）=/^实际没问题）=0.7（修理工判断“冇问题”/实际冇问题）=0.9八尋//12）=户（修理工判断“冇问题”/实际没M题）=0.2户（52/4）二/＞（修理工判断“没问题”/实际没问题）=0.1P（民/A_）=P（修理工判断“没问题”/实际没问题）=0.8代入上式P（实际有问题/修理工判断“有问题”）"p（A）m/A）+^2）m/A）0.3x0.9-03x0.9+0.7x0.2=0.66这个结果表明，当修理工判断某辆车的传动装置“有问题”时，实际有问题的概率为0.66,即修理工的判断宥

7、问题使得真宥问题的概率由0.30增长到0.66。3、八实际有问题/修理工判断“没问题”）=P（实际冇问题）A修理丄^祈“没问题”/实际冇问题）_八实际有问题）八修J肛判断“没I'nj题”/实际有I'nj题）+P（实际没I'nj题）P（修肛判断“没问题”/实际没问题）p（A）p（b,/a）~p（A）p（b2/A）+^2）^2/A）由问题2知道A实际有问题/修理工判断“没问题”）P（A,）P（g2/A）~P（A）P（B2/A）+^（A2）P（B2/A）_0.1x0.3~03x0.1+0.7x0.8=0.05这个结果表明，当修理工判断某辆车的传