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时间:2019-06-30
《解析几何简化运算的几种方法(含答案)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、博文教育讲义课题:简化解析几何运算方法教学目标:提高学生简化运算的意识,注意探索简捷运算的技巧,并适时进行有关的规律总结教学重点:简化运算方法归纳教学难点:有关的规律总结与运用教学过程:解析几何的本质特征是几何问题代数化,就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题,这提供了许多便利;但也不可避免地造成许多计算的繁琐,同时对运算能力提出较高要求。其实,只要有简化运算的意识,注意探索简捷运算的技巧,并适时进行有关的规律总结,许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。1.回归定义圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许
2、多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的,在分析求解时若考虑回归定义,可以使许多问题化繁为简。例1过椭圆左焦点倾斜角为的直线交椭圆于点且,则此椭圆离心率为解析本题的常规解法是:联立再结合条件求解,运算量大,作为填空题,不划算!如图1,考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解:,另一方面,在中,故于是,又,所以可得练习:设是双曲线的左,右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(O为坐标原点),且,则双曲线的离心率是()【分析】根据向量加法的平行四边形法则,.可知为直角三角形.这就为用定义法求离心率创造了条
3、件.【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令,6于是,选D2.活用几何性质解决解析几何的运算问题,往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组,运算较为复杂,运算能力稍差的同学难以准确迅速求解,甚至半途而废;若能联想题目所涉及图形的几何性质,并利用有关几何性质来解决问题,常常可以峰回路转,收简捷巧妙解题之效果.例2已知点到两定点的距离比为,点到直线的距离为1,求直线的方程。解析本题若按常规做法为:设,则的方程为,即,于是①又②将①代入②可得,于是因此直线的方程为若能进一步观察题设条件:如图3,在中斜边,直角
4、边可得,在中由正弦定理得于是因此直线的方程为评注:本题为02年全国高考文科第21题,分值为14分,重点考查学生通过联立①②消参解方程组的运算能力,对文科学生的运算能力提出了较高的要求;通过上述通法与巧法对比,读者容易看出:运用平面图形的有关几何性质来分析解决一些解析几何的问题,可以有效地避免复杂的解几运算,以达简捷解题之目的。练习:过圆C:作一动直线交圆C于两点P、R,过坐标原点O作直线ON⊥PM于点N,过点P的切线交直线ON于点Q,则=。【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件中既有垂线又有切线,
5、容易构成直角三角形,故求两向量的数量积容易想到直角三角形中成比例的线段.【解析】如图4,连OP,则OP⊥PQ.但是OQ⊥PR于N,根据直角三角形的射影性质有:∴图3即.63.数形结合对于某些几何特征比较明显的问题,常可从分析图形本身所固有的几何特征入手,或从运动变化的观点来分析考察图形中某些量的变化规律,往往可简捷获解。例3、是已知椭圆上的两点,线段垂直平分线与轴交于点,求证:简析着眼于寻求“线段垂直平分线”的几何意义,可考虑构造圆(如图10)①,它与椭圆②有四个不同交点(或3个,当之一为长轴端点时),由①②消去得
6、-③,方程③有两个不同实根,则,即。,又,.练习:设点,动点在椭圆上且满足,试求的取值范围。解析本题简捷的解法是从数形结合的角度用运动变化的观点进行考察:如图11所示,三点共线,当时为最小;将直线绕点逆时针旋转至相切(重合)有;回转至有为最大,故有4.巧设参数例题4:过抛物线上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.证明:(参数法)∵两点B,C均在抛物线y²=x上。∴可设其坐标为:B(b²,b)C(c²,c)∴可得两条直线的斜率为Kab=1/(b+2).Ka
7、c=1/(c+2)由题设可知:直线AB与直线AC的斜率是互为相反数∴[1/(b+2)]+[1/(c+2)]=0通分,整理可得:[(b+c)+4]/[(b+2)(c+2)]=0∴必有(b+c)=-4又直线BC的斜率Kbc=1/(b+c)=-1/4∴直线BC的斜率为定值-1/4例5、已知是椭圆上的点,试求的取值范围?6解:设椭圆的参数方程的取值范围为5.利用设而不求,整体代换例6:是已知椭圆上的两点,线段垂直平分线与轴交于点,求证:解设,,AB的中点为,则,,二式相减得,则直线L的方程为令得又,所以。例7、椭圆上有两点
8、P、Q,是原点,若OP、OQ斜率之积为。(1)求证:OP2+OQ2为定值。(2)求PQ的中点M的轨迹方程。解:(1)设P、Q的两点坐标分别为、Q,P、Q分别在椭圆上,且,得(3)代入(4)得,(1)+(2)得。(2)设P、Q的中点M的坐标为M,则有,,(1)+(2)+(3)得,6。即:,中点M的轨迹方程为练习1:已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两
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