简化立体几何运算的几种方法

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1、http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网简化立体几何运算的几种方法吕晓立体几何教学的任务之一就是培养学生的运算能力，要培养运算能力，就要掌握简化立体几何运算的方法，那么怎样简化立体几何运算呢？一、一般问题特殊化有些选择题或填空题，若根据题意直接解答运算很繁，把一般问题特殊化，可简化运算过程。例1.正四棱锥相邻两侧面形成的二面角为，则的范围是（）A.B.C.D.解：如图1，正四棱锥S－ABCD，过A作AE⊥SB于E'，连CE。图1由三角形全等容易证得∠AEC是二

2、面角的平面角。考虑特殊位置V，当S无限接近O点时，接近π；当S距平面ABCD无限远时，α接近，α的范围是。故选D。二、整体估算有些立体几何选择题，若直接解答十分繁杂，若采用整体估算则十分简单。例2.（1999年高考题）如图2，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，，EF与面ABCD的距离为2，则多面体EF－ABCD的体积是（）http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网图2A.B.5C.6D.解：连结EB、EC得四棱锥E－ABCD，

3、它的高h＝2，SABCD＝9，四棱锥E－ABCD的体积。因为，即。故应选D。三、用公式求二面角一个平面上的图形面积为S原，它的另一个面上的射影的图形面积为S射，这两个面的夹角为α，则有，即。利用这公式求二面角的大小，不需要找二面角的棱确定二面角的平面角，显然可以简化运算。例3.正方体中，E是BC的中点，求平面与平面ABCD所成二面角的大小。解：如图3，连结DB、DE，因为都垂直于平面ABCD，则△DBE是△D1B1E在平面ABCD上的射影。图3http://www.ehappystudy.com快

4、乐学习，尽在中小学教育网设正方体的棱长为1，易知。所以。设所求二面角为α，则，故α＝。即平面与平面ABCD所成的二面角为。四、运用三棱锥的体积求点面距离求点面距离的一般思路是过点向平面作垂线，确定垂足位置和表示距离的线段长，这样作解答难，运算繁。如果构造三棱锥，把所求距离转化为三棱锥的高，通过三棱锥的体积求点面距离，可简化运算。例4.ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离。解：如图4，取EF的中点O，连接G

5、B、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。图4设点B到平面EFG的距离为h，BD＝，EF，CO＝。。而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。由，得·GC，所以解得。http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网故点B到平面EFG的距离是。评注：构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。五、变换图形的位置根据待解题目给出图形求解，有时运算很繁。若变换图形的位置，便于求解，可简化运算。例5.已

6、知三棱锥V－ABC的三个侧面VAB、VBC、VAC互相垂直，且其面积依次为6、4、3。求此三棱锥的体积。图5解析：根据已知条件用左图求三棱锥V－ABC的体积，解答难，运算繁。若改变为右图，求三棱锥A－VBC的体积，可简化运算。因为平面VAB、VBC、VAC两两互相垂直所以VA、VB、VC互相垂直，从而VA⊥平面VBC。设VA＝x，VB＝y，VC＝z，则xy＝12，yz＝8，zx＝6。三式相乘，得，因，所以。。六、运用分割法求某种几何体的体积，直接求解运算很繁。若注意用分割法，则可简化运算。http

7、://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网例6.如图6，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝l，PA、BC的公垂线段ED＝h，求三棱锥P－ABC的体积。图6解：连BE、EC。因为PA⊥BC，PA⊥ED且BCED＝D，所以PA⊥平面BEC。因，所以，·PE＝。七、运用等积代换有些求体积问题，根据公式直接求解，运算很繁，又需要许多证明，若通过等积代换，可简化运算。例7.斜三棱柱的一个侧面面积为S，这个侧面与它的对棱的距离为a，求这个棱柱的体积。解：如图7，设斜三

8、棱柱中，侧面BB'C'C面积为S，与它的对棱A'A间的距离为a。http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网图7连C'A、C'B，则有。调查顶点和底面，有三棱锥A－BC'C，于是。因为A'A∥B'B，B'B平面BB'C'C，所以A'A∥平面BB'C'C。由此可知，A'A到侧面BB'C'C的距离a等于三棱锥A－BC'C的高。因为所以。所以。八、倍角α为自变量使问题三角化涉及立体几何的最值问题，若设线段的长度为自变量常出现根式运算；如果设角为自变量，可