欧式空间的基本概念

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1、引言在线性空间中,下面介绍欧氏空间的相关内容.线性关系,只涉及向量的线性运算和向量间的没有得到反映,而几何空间中向量的长度和夹角等度量概念故有必要在一般的线性空间中引入度量的概念.第二节欧式空间的基本概念一、向量的内积与欧氏空间1、内积和欧氏空间定义设V是一个实线性空间,两个向量α和β都指定了一个实数与之对应,如果对于V中任意这个实数记作<α,β>，且满足以下条件：(1)对称性：<α,β>=<β,α>;(4)非负性：<α,α>0,等号成立的充分必要条件是(2)齐次性：=k<α,β>;(3)加性：<α+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>;α=0.其中α,β和γ是V中任意

2、向量,则称实数k是任意实数,<α,β>为α和β的内积,称定义了内积的实线性空间V为实内积空间或欧几里得空间,简称为欧氏空间.①欧氏空间定义中的条件(1)-(4)称为内积公理,其中的(2),(3)统称为内积的线性性质,关于欧氏空间的两点说明②齐次性的推广且可以写成=k<α,γ>+l<β,γ>,这里α,β,γ是V中任意向量,k和l是任意实数.再由内积的对称性可知：<γ,kα+lβ>=k<γ,α>+l<γ,β>.(2)齐次性：=k<α,β>;例1在线性空间Rn中,对于向量α=(a1,a2,...,an)T,是满足内积公理.证明从而Rn是一个欧氏空间.β=(

3、b1,b2,…,bn)T,验证<α,β>=a1b1+a2b2+…+anbn=αTβ(1)<β,α>=βTα=αTβ=(βTα)T=<α,β>.(*)(1)对称性:<α,β>=<β,α>;(4)非负性:<α,α>0,等号成立的充分必要条件是α=0.(2)齐次性:=k<α,β>;(3)加性：<α+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>;(2)设kR,则=(kα)Tβ=k(αTβ)=k<α,β>.故(*)式满足内积公理.R3是一个欧氏空间.a12+a22+...+an2(4)<α,α>=0,且<α,α>=0α=0.a1=a2=...=an=0从而Rn是一个欧

4、氏空间.特别地,<α,β>=a1b1+a2b2+...+anbn=αTβ(3)设γRn,则<α+β,γ>==<α,γ>+<β,γ>.(α+β)Tγ=(αT+βT)γ=αTγ+βTγ例1′设f(x)和g(x)是连续空间C[a,b]中任意两个函数，定义则C[a,b]是一个欧氏空间.2.柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式证明且对任意实数t,上式为t的二次函数,因此上式的判别式定理1设α和β是欧氏空间V中任意两个向量,则有其中等号成立的充要条件是向量α和β线性相关.如果向量α和β线性无关,显然有α0.由内积的非负性可知:且恒正.tα+β0,综上所述，Cauchy-S

5、chwarz不等式成立.即从而有如果向量α和β线性相关,则向量α和β成比例.不妨设向量α=kβ(kR),故证毕对欧氏空间Rn来说,Cauchy-Schwarz不等式是：对欧氏空间C[a,b]来说,Cauchy-Schwarz不等式是：其中<α,β>=a1b1+a2b2+...+anbn=αTβ其中二、向量的范数与夹角1、向量的范数定义在欧氏空间V中,由范数的定义可知,称非负实数为向量α的范数(或长度),记作

6、

7、a

8、

9、.即Cauchy-Schwarz不等式可写成对欧氏空间Rn来说,则如果向量α=(a1,a2,...,an)T,<α,β>=a1b1+a2b2+…+anbn=αTβ2

10、、范数的基本性质证明设α,β为欧氏空间V中的任意两个向量,则向量的范数有下列基本性质：k为任意实数,(2)齐次性

11、

12、kα

13、

14、=

15、k

16、

17、

18、α

19、

20、;(3)三角不等式

21、

22、α+β

23、

24、

25、

26、α

27、

28、+

29、

30、β

31、

32、.(1)非负性

33、

34、α

35、

36、0,

37、

38、α

39、

40、=0的充分必要条件是α=0;(1)与(2)的证明板书推导.下面证明(3).三角不等式的证明两边同时开方可得(3)三角不等式

41、

42、α+β

43、

44、

45、

46、α

47、

48、+

49、

50、β

51、

52、.证毕故三角不等式成立.

53、

54、α+β

55、

56、

57、

58、α

59、

60、+

61、

62、β

63、

64、,3、向量的夹角定义非零向量a与b的夹角φ为规定:零向量与任意向量成任意角.则称向量a与b正交.范数为1的向量称单位向量.非

65、零向量a的单位化(或规范化)向量表示与a同向(即夹角为零)的单位向量.若=0,由非零向量a得到单位向量称为向量a的单位化.例2求与a=(1,1,1),b=(1,-2,1)同时正交的单位向量.解解得故所求的单位向量为则有设非零向量x=(x1,x2,x3)与a,b同时正交,4、距离定义对于欧氏空间V中的两个向量α和β,由向量的范数的基本性质可知距离有下列基本性质：称范数(2)非负性d(α,β)≥0,且d(α,β)=0当且仅当α=β.(3)三角不等式d(α,β)d(α,γ)