高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法学案含解析

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1、2.3数学归纳法数学归纳法在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k

2、(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示数学归纳法中两个步骤的作用及关系步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，则无法判断n＝k(k＞n0)时命题是否成立；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．11需要注意：步骤(2)是数学

3、归纳法证明命题的关键．归纳假设“n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出当n＝k＋1时命题也成立，而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．用数学归纳法证明等式　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(

4、2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)＝k(k＋1)2＋(k＋1)＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋

5、1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．用数学归纳法证明：＋＋…＋＝.证明：(1)当n＝1时＝成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即有＋＋…＋＝，则＋＋…＋＋＝＋＝，即当n＝k＋1时等式也成立．11由(1)(2)可知对于任意的n∈N*等式都成立.用数学归纳法证明不等式　已知f(n)＝1＋＋＋…＋，当n＞1，n∈N*时，求证：f(2n)＞.　(1)当n＝2时，f(22)＝1＋＋＋＝＞

6、，原不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k＞1)时不等式成立，即f(2k)＝1＋＋＋…＋＞，那么当n＝k＋1时，有f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋…＋＝f(2k)＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋…＋＝＋＝＋＝.所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)知，对任何n＞1，n∈N*不等式都成立．用数学归纳法证明不等式应注意两点(1)证明不等式的第二步即从n＝k到n＝k＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；(2)用数学归纳法证明不等式时，推论过程中有时要用到比较法、分析法和

7、配凑法等．证明不等式：1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2＝2.显然命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋＜2.则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＜2＋＝＜＝＝2，这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)(2)，可知不等式对任意正整数n都成立.用数学归纳法证明整除问题11　用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．　(1)n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×31＋9＝36，能被36整除．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，

8、f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除．当n＝k＋1时，f(k＋1)＝·3k＋1＋9＝3＋18(3k－1－1)＝3f(k)＋18(3k－1－1)．∵3k－1－1是偶数，∴18(3k－1－1)能被36整除．又∵f(k)能被36整除，∴f(k＋1)能被36整除．由(1)(2)知对n∈N*，f(n)能被36整除．用数学归纳法证明整除问题的方法技巧用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余