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时间:2019-06-29
《高中数学第三章数系的扩展与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义复数的加减法已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).问题1:多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想复数如何加减?提示:两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减,即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.问题2:复数的加法满足交换律和结合律吗?提示:满足.问题3:以交换律进行说明.提示:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,z2+z1=(c+di)+(a+bi)=(c+a)+(d+b)i,∴z1+z2=z2+z1.1.复数的加、减法法则设z1=a+bi,z2
2、=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.2.复数加法的运算律(1)交换律:z1+z2=z2+z1;(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).对复数加、减法的理解1.把复数的代数形式看成关于“i”的多项式,则复数的加法、减法运算,类似于多项式的加法、减法运算,只需要“合并同类项”就可以了.2.复数的加、减法中规定,两复数相加、减,是实部与实部相加、减,虚部与虚部相加、减,复数的加、减法可推广到多个复数相加、减的情形.3.两个复数的和(差)是复数,但两个虚数的和(差)不一定是虚数.例如,(3-2i
3、)+2i=3.复数加、减法的几何意义10如图,分别与复数a+bi,c+di对应.问题1:试写出,及+,-的坐标.提示:=(a,b),=(c,d),+=(a+c,b+d),-=(a-c,b-d).问题2:向量+,-对应的复数分别是什么?提示:向量+对应的复数是a+c+(b+d)i,也就是z1+z2,向量-对应的复数是a-c+(b-d)i,也就是z1-z2.复数加、减法的几何意义如图,设在复平面内复数z1,z2对应的向量分别为,,以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形,则与z1+z2对应的向量是,与z1-z2对应的向量是.对复数加、减运算几何意义的认识1.若复平面内任意两点Z1,Z2所对
4、应的复数分别是z1,z2,则Z1,Z2两点之间的距离
5、Z1Z2
6、=
7、z2-z1
8、.2.复数加、减法的几何意义包含两方面:一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算,使复数作为工具运用于几何之中;另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释.复数的加、减运算 计算:(1)(-2+3i)+(5-i);(2)(-1+i)+(1+i);(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). (1)(-2+3i)+(5-i)=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.(2)(-1+i)+(1+i)=(-1+1)+(+)i=2i.(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2
9、a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.复数的加、减运算的技巧10(1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.(2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项.计算下列各题.(1)(3-2i)-(10-5i)+(2+17i);(2)(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2017-2018i).解:(1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i=-5+20i.(2)原式=(1-2+3-4+…+2015-2016+2017)+(-2+3-4+5-…-2016+2017-2018)i=1009-1010i.复数加、减运算的几何意义 已知四边
10、形ABCD是复平面上的平行四边形,顶点A,B,C分别对应于复数-5-2i,-4+5i,2,求点D对应的复数及对角线AC,BD的长. 如图,因为AC与BD的交点M是各自的中点,所以有zM==,所以zD=zA+zC-zB=1-7i,因为:zC-zA=2-(-5-2i)=7+2i,所以
11、
12、=
13、7+2i
14、==,因为:zD-zB=(1-7i)-(-4+5i)=5-12i,所以
15、
16、=
17、5-12i
18、==13.故点D对应的复数是1-7i,AC与BD的长分别是和13.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾
19、相接”和减法“指向被减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).10复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点,如右图所示,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.解:复数z1,z2,z3所对应的点分别为A,B,C,设正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R).因为=-,所以对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i
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