高中数学第三章数系的扩展与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学案

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1、3．2.1　复数代数形式的加、减运算及其几何意义复数的加减法已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．问题3：以交换律进行说明．提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i，∴z1＋z2＝z2＋z1.1．复数的加、减法法则设z1＝a＋bi，z2

2、＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．对复数加、减法的理解1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．2．复数的加、减法中规定，两复数相加、减，是实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减，复数的加、减法可推广到多个复数相加、减的情形．3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i

3、)＋2i＝3.复数加、减法的几何意义10如图，分别与复数a＋bi，c＋di对应．问题1：试写出，及＋，－的坐标．提示：＝(a，b)，＝(c，d)，＋＝(a＋c，b＋d)，－＝(a－c，b－d)．问题2：向量＋，－对应的复数分别是什么？提示：向量＋对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2，向量－对应的复数是a－c＋(b－d)i，也就是z1－z2.复数加、减法的几何意义如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.对复数加、减运算几何意义的认识1．若复平面内任意两点Z1，Z2所对

4、应的复数分别是z1，z2，则Z1，Z2两点之间的距离

5、Z1Z2

6、＝

7、z2－z1

8、.2．复数加、减法的几何意义包含两方面：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复数作为工具运用于几何之中；另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释．复数的加、减运算　计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；(2)(－1＋i)＋(1＋i)；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．　(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.(2)(－1＋i)＋(1＋i)＝(－1＋1)＋(＋)i＝2i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2

9、a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.复数的加、减运算的技巧10(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．计算下列各题．(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2017－2018i)．解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i.(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2015－2016＋2017)＋(－2＋3－4＋5－…－2016＋2017－2018)i＝1009－1010i.复数加、减运算的几何意义　　已知四边

10、形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．　如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝＝，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，因为：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以

11、

12、＝

13、7＋2i

14、＝＝，因为：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以

15、

16、＝

17、5－12i

18、＝＝13.故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾

19、相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．10复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如右图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．因为＝－，所以对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i