群题极值点偏移

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1、极值点偏移1、（2017合肥二模）已知，（）有两个根，，求证：分析：几何感受明显，但有两个地方带，常用的对称函数方法失效，但注意下图：方法一：……（1）故只需证明，，的两根，即可。下面证明：，，(,<0)记:,；令得，在（，）单调递增；同理在（，0）单调递减。又，；同理，只要证明的两根，即的两根即可；设，易知在（，0）单调递减，在（0，）单调递增，构造函数=，（），在（0，）单调递增，即，又，，且，<0，，得证。方法二：证明：，11/11极值点偏移，再由得：，（>1）2、已知函数，如果且，求证：（方法1）分析：已知的是相等关系所求是一个不等

2、关系，已知的是函数值之间的关系所求是自变量之间的关系，故考虑利用函数的单调性。此外利用已知的相等关系将双变量降为单变量，从而构造函数。证明：，易得当时，，当时，在单调递增，在单调递减，且要证，只要，又易知所以只要证即可构造函数，11/11极值点偏移在单调递增，即，从而，即原结论成立，证毕。（方法2）（引入参数、设而不求，利用齐次式将双变量降为单变量）因为，所以可设（1）+（2）得（1）-（2）得，带入（3）得设，，则要证，只要只要即可，即只要即可（此处很重要，指对幂分离）设，所以，所以在单调递增所以，即,即，从而原结论成立，证毕注：本题变式

3、有两个不同的实数根，，求证：11/11极值点偏移3、已知，若且，求证：4、已知函数，,有两个不同的零点求证：证明：的定义域为，显然时，不符合题意时当单调递减当单调递增有极小值，且下面证明构造在单调递减又又且在单调递减又11/11极值点偏移设易知在单调递增，且由易知5、已知函数，若函数有两根极值点求证：证明：设当时，在单调x递增，不符合题意当时，若在上单调递增若在单调递减依题意有两根不同的零点，不妨设要证明只要证明即可，下面证明：由上可知：且11/11极值点偏移设故只要即即可令易知在单调递增在单调递减即所以原结论得证。6、已知，函数有两个零点

4、（1）求实数的取值范围。（2）证明：解析：设则原函数有两个零点可转化为有两个根要证明只要即可（方法一）：对数均值不等式可证（方法二）：构造函数先设可得在单调递增，在单调递减可得要证只要即可只要即可,又构造函数7、已知11/11极值点偏移（1）求的单调区间（2）若有两个不等实根求证：8、已知函数有两个零点则下列说法正确的是（）.有极小值点且解析：(1)有极值点而且(2)又得(3)(4)下面另证，设此处不宜直接令也不要转化为原则是指对幂分离(要证)只要即可设在单调递增11/11极值点偏移所以再证（要证）只要即可设在上单调递减9、已知,若有两个不

5、等实根求证：证明：设则则有两不等实根(不妨设要证只要即可又时,单调递增时单调递减方程要有两个不等实根，则即且下面证明（方法1）：,11/11极值点偏移得证（方法2）：要证只要只要又所以只要证构造函数以下略10、（2016年新课标i）已知有两个零点(1)求的取值范围(2)设是的两个零点，证明：11、(2015年中国科技大学自主招生考试)已知函数(1)求函数的单调区间和最大值(2)设,且,证明：,其中为自然对数的底数12、(2013年湖南卷)已知函数(1)求的单调区间(2)证明：当时,13、(2011年辽宁卷)已知函数(1)讨论的单调性(2)若

6、函数的图像与轴交于两点，线段的中点的横坐标为，证明：14、已知函数(1)若函数无零点，求实数的取值范围11/11极值点偏移(2)若存在两个实数且,满足,求证：15、已知的图像上有两点，其横坐标为,且(1)证明：(2)证明：(3)若,求的取值范围解析：(1),令得所以且在单调递减，在单调递增构造函数（极值点偏移）易证以下略要证明只要即可（因为且，而在单调递增所以只要证明只要即可构造函数在上单调递增由于时，且故必存在使得故在上单调递减，在上单调递增又时，且故在恒成立所以，从而得证11/11极值点偏移（2）设则则故只要证即可，方法同（1）略另证：

7、【“妙”切线放缩，利用】证明：，，11/11