线面垂直、面面垂直

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1、线面垂直、面面垂直及其证明一线面垂直的判定定理（1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.（2）判定定理：如果直线和平面内的两条相交的直线都垂直，那么直线垂直于平面.（线面垂直线线垂直）（3）三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.（4）线面垂直的证明例1已知正

2、方体，求证：面．例2如图１所示，为正方形，⊥平面，过且垂直于的平面分别交于．求证：，．例3已知中,面,,求证：面．例4在正方体中，为的中点，交于点，求证：平面.练习1在正方体中.（1）求证：平面.（2）求证：平面.练习2在三棱锥中，，，作，为垂足，作于.求证：平面.练习3在四棱锥中，底面，，，，，是的中点.（1）求证：.（2）求证：面.二面面垂直（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为，两个面分别为，二面角记作为.

3、（2）二面角的平面角定义：在二面角棱上取一点，在半平面和内，从点分别作垂直于棱的射线，射线组成.则叫做二面角的平面角.二面角的取值范围为.（3）面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直.（4）面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直.（5）面面垂直的正面即：面面垂直线面垂直线线垂直.例1如图，在正方体中，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面..例2如图，直三棱柱中，侧棱垂直于底面，，是棱的中点，求证：平面平面．练习如图，过引

4、三条长度相等但不共面的线段，且，，求证：平面⊥平面．三立体几何高考证明例1（2013江苏）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：（1）平面平面；（2）．例2（2012江苏）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D不同于点C），且为的中点．求证：（1）平面平面；（2）直线平面．例3如图，四棱锥中，底面为平行四四边形，，，底面.（1）证明：（2）设，求棱锥的高.练习1如图，几何体是四棱锥，为正三角形，.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点，求证：∥平面.练习2

5、（2011天津）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，为的中点，，，为的中点．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)证明：；(Ⅲ)求直线与平面所成角的正切值．