第一、二讲平面几何中的重要定理3

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1、2011/12/30,Friday3.张角定理设A,C,B顺次分别是平面内例1.设D是△ABC边BC上的一点,点P在线段一点P所引的三条射线PA,PC,PB上的点,线AD上,过点D作一直线分别不线段AB、PB交段AC,CB对点P的张角分别是α和β,且α+β于点M、E,不线段AC、PC的延长线交于点F、<180°,则A、C、B三点共线的充要条件是:N,如果DE=DF,求证:DM=DN.04首届东南奥林匹克sinα+βsinαsinβP=+.对△AMD及直线BEPPCPBPA对△AFD及直线NCPαβA、C、B三点共线等价于对△AMF及直线BDCS△PAB=S△PAC+S△PBCACB分

2、别应用梅氏定理得:APDEMBACFNDPABMDFC=1,=1,=1.推论:在定理的条件下,若α=,则A、C、B三点共PDEMBACFNDPABMDFCA2cosα11DEFNMDDM=DNDM=DN线的充要条件是:=+.=1.又DE=DF,DM-DEDNDE-.EMNDDFPCPBPA例1.设D是△ABC边BC上的一点,点P在线段AD上,例2.AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角AMCN过点D作一直线分别不线段AB、PB交于点M、E,线,点M、N分别内分AC,CE,使==r.不线段AC、PC的延长线交于点F、N,如果DE=ACCE如果B、M、N共线,求r.(

3、IMO23)DF,求证:DM=DN.04首届东南奥林匹克以D为视点,分别对A、M、B;P、E、B;P、C、N;设BE交AC于点P.ABA、C、F应用张角定理得:AM-APr1PMAM-APACAC-PMsinα+β=+sinαsinβ①注意到DE=DF,===2,CDMDADBMCAC-AM1-AM1-rFsinα+βsinαsinβsin(α+)=sin,AC=+②NDEDPDB由①+③-②-④由直线NMB截△EPC得:EDsinα+sinαsin得证.1=+③r-DCDPDNPMCNEB2r43sinα+sinαsin1==.r=.=+④MCNEBP1-

4、r1-r13DCDADF例2.AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角例3.在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,在AMCNCD上取一点E,BE不AC相交于F,延长DF交BC线,点M、N分别内分AC,CE,使==r.ACCE于G.求证:∠GAC=∠EAC.(99全国高中联赛)如果B、M、N共线,求r.(IMO23)作∠CAG′=∠CAE,交BC于G′.即证G′、F、D共线.设正六边形的边长为a,则CA=CE=3a.设∠BAC=∠CAD=,∠CAG′=∠CAE=α.sinα+βsinαsinβ于是,CN=AM=3ra,CM=3a(1-r).=+.AFADAGA以C为视点,对

5、B、M、N应用张角AB以A为视点,对BFE;BG′C;CED用张角定理:αα定理得:sinα+βsinαsinβββ=+①sin90osin30osin60oM30°AFABAED=+.F60°Csinβsinαsinβ-α由①-②+E3a1-r3raa=+②AGABAC③即可.F化简得:3r2-1=0.NBsinβsinαsinβ-αGG'ED=+③CAEADAC12011/12/30,Friday例4.设UV是囿O的弦,M是UV的中点,AB和CD是例4.设UV是囿O的弦,M是UV的中点,AB和CD是过M的另两条弦,AC和BD分别交UV于P、Q.求证:M是PQ的中点

6、.过M的另两条弦,AC和BD分别交UV于P、Q.求证:M是PQ的中点.(美24届大学生数学竞赛)作ON⊥CD,OK⊥AB,则N,K分别为CD,AB的中点.以M为视点,分别对BQD;CPA用张角定理,MC-MD=(NC+MN)-(ND-MN)=2MN=2MOsin.④sinα+βsinαsinβMB-MA=+①=2MK=2MOsinα.⑤MQMDMBC又MD•MC=MB•MA,⑥Csinα+βsinαsinβ=+②MPMCMAOBOB将④⑤⑥代入③得:MQ=MP.N11sinα+β-βαβKαMQMPUPαMβQVUPαMβQVMC-MDMB-MA蝴蝶定理=sin

7、α-sinβ③AADMDMCMBMAD③式右端为零.例5.在筝形ABCD中,AB=AD,BC=CD,过AC,BD的练习:以等边△ABC的BC边为直径向形外作半交点O仸作两条直线,分别交AD于E,BC于F,AB于囿,在这半囿上取点K和L分半囿为相等的三段弧.G,CD于H,GF,EH分别交BD于I,J,求证:OI=OJ.求证:直线AK和AL分线段BC为相等的三部分.以O为视点,分别对GIF,EJH,AGB,AED,CHD,设半径为R