平面几何中几个重要定理的证明

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1、平面几何中几个重要定理及其证明一、塞瓦定理1．塞瓦定理及其证明定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有．证明：运用面积比可得．根据等比定理有，所以．同理可得，．三式相乘得．注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，若，那么直线CD、AE、BF三线共点．证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据

2、塞瓦定理有．因为，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．一、梅涅劳斯定理G3．梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有．证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．因为CG//AB，所以————（1）因为CG//AB，所以————（2）由（1）÷（2）可得，即得．注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证．4．梅涅劳斯定理的逆定理及其

3、证明定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边AC的延长线上有一点F，若，那么，D、E、F三点共线．证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有．因为，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．一、托勒密定理EM5．托勒密定理及其证明定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有AB·CD+BC·AD=AC·BD．证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得DAE=BAM．因为ADB=ACB，即ADE=ACB，所以ADE∽ACB，即得，即————（1）

4、由于DAE=BAM，所以DAM=BAE，即DAC=BAE。而ABD=ACD，即ABE=ACD，所以ABE∽ACD．即得，即————（2）由（1）+（2）得．所以AB·CD+BC·AD=AC·BD．注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试．6．托勒密定理的逆定理及其证明定理：如果凸四边形ABCD满足AB×CD+BC×AD=AC×BD，那么A、B、C、D四点共圆．证法1（同一法）：在凸四边形ABCD内取一点E，使得，，则∽．可得AB×CD=BE×AC———（1）且———（2）则由及（2）可得∽．于是有AD×BC=DE×AC———（

5、3）由（1）+（3）可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)．据条件可得BD=BE+DE，则点E在线段BD上．则由，得，这说明A、B、C、D四点共圆．证法2（构造转移法）延长DA到A/，延长DB到B/，使A、B、B/、A/四点共圆．延长DC到C/，使得B、C、C/、B/四点共圆．（如果能证明A/、B/、C/共线，则命题获证）那么，据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆．因此，，．可得.另一方面，，即．欲证=，即证即．据条件有，所以需证，即证，这是显然的．所以，，即A/、B/、C/共线．所以与互补．由于，，所以与互补，即A、B、C、D四点共圆．7．托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四

6、边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有AB×CD+BC×AD>AC×BD证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E，使得，，则∽．可得AB×CD=BE×AC————（1）且————（2）则由及（2）可得∽．于是AD×BC=DE×AC————（3）由（1）+（3）可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知AB×CD+BC×ADAC×BD所以BE+DEBD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有BE+DE>BD．所以AB×CD+BC×AD>AC×BD．一、西姆松定理8．西姆松定理及其证明定理：从ABC外接圆上任意一点P向BC、C

7、A、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．证明：如图示，连接PC，连接EF交BC于点D/，连接PD/．因为PEAE，PFAF，所以A、F、P、E四点共圆，可得FAE=FEP．因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC=BCP，即FAE=BCP．所以，FEP=BCP，即D/EP=D/CP，可得C、D/、P、E四点共圆．所以，CD/P+CEP=1800。而CEP=900，所以C