平面几何中几个重要定理

《平面几何中几个重要定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、平面几何中的几个重要定理一．塞瓦定理塞瓦（G。Ceva1647—1743），意大利著名数学家。塞瓦定理设为三边所在直线外一点，连接分别和的边或三边的延长线交于（如图1），则与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理。塞瓦定理逆定理设为的边或三边的延长线上的三点（都在三边上或只有其中之一在边上），如果有，则三直线交于一点或互相平行。E例1．如图3，是内一点，分别与边交于，过三点作圆，与三边交于。求证：交于一点。例2．设分别为三边的中点，为内一点，分别交于（如图4）。求证：三线共点。例3．以各边为底边向外作相似的等腰三角形（如图5）

2、。求证相交于一点。一．梅涅劳斯定理Menelaus（公元98年左右），希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著作《球论》里。梅涅劳斯定理设的三边或它们的延长线与一条不经过其顶点的直线交于三点（如图6），则。梅涅劳斯定理逆定理设分别是的三边上或它们延长线上三点，若有，则三点在同一直线上。例4．设的∠A的外角平分线与BC的延长线交于P,∠B的平分线与AC交于Q,∠C的平分线和AB交于R.求证：三点在同一直线上。例5．图8，过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P、Q、R，

3、求证：P、Q、R三点共线。注：直线PQR叫做△ABC的莱莫恩（Lemoine）线例6（戴沙格定理）设△ABC和△对应点的连线、、交于一点，这时如果对应边和、和、和（或它们的延长线）相交，则它们的交点D、E、F在同一直线上。注：戴沙格定理是射影几何中的重要定理。例7．（牛顿定理）设四边形的一组对边和的延长线交于点，另一组对边和的延长线交于点，则的中点、的中点及的中点，三点共线。三．斯特瓦尔特定理Stewart（1753—1828），英国数学家、哲学家。斯特瓦尔特定理如图，设P是的边上一点，且==，则有斯特瓦尔特定理另外形式

4、：或当时，P为BC的中点，有（巴布斯定理）（中线定理）当AP是△ABC∠A的平分线是，有。例8．在△ABC中设AB=c，AC=b，c>b，AD是∠A的平分线，E为BC上一点，且BE=CD。求证：。例9．设为△ABC的重心，M是平面上任意一点，求证：练习1．△ABC的边BC上任意一点D，设∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB、AC于F和E，求证：AD、BE、CF交于一点。2．已知AD是△ABC的边BC上的高，P为AD上任意一点，直线BP、CP分别交AC、AB于E、F，求证：∠FDA=∠ADE。3．△ABC中，内切圆⊙O与

5、各边BC、CA、AB相切于D、E、F，求证：AD、BE、CF交于一点。4．在△ABC中，，AM为BC边上的中线，AD为∠A的平分线，顶点B在AD上的射影为E，BE交AM于N，求证：DN∥AB。5．设△ABC的三个旁切圆在BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则AD、BE、CF交于一点。6．设平行四边形ABCD内一点E，过E引AB的平行线与AD、BC交于K、G，过E引AD的平行线与AB，CD交于F、H，则FK、BD、GH互相平行或交于一点。7．一条直线与三角形三边或其延长线交于L、M、N，若点与L、M、N关于三边的中点

6、对称，求证三点共线。8．设四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为，则相交于一点（或相交于一点）9．设D、E为的边上两点，且，则10．设正三角形ABC边长为a，P为平面上任意一点，证明：。三．托勒密定理Ptolemy（约公元85—165年），希腊大数学家，他的主要著作《天文集》被后人称作“伟大的数学书”。托勒密定理设四边形ABCD内接于圆，则有。例1．如图，设为平行四边形的边上的两点，的外接圆交对角线于。求证：。例2．设为圆内接正方形，为弧上一点，求证：例3。如图，已知圆内接正五边形，若为弧上一点，则例4．设为同心圆，的半径

7、是的半径的2倍，四边形内接于圆，分别延长交圆于，求证：四边形的周长不小于四边形的周长的2倍。一．西姆松定理R．Simson（1867—1768），英国数学家，曾于1756年校订了欧几里德的《几何原本》。西姆松定理从的外接圆上任意一点向或它们的延长线引垂线，垂足分别为，则三点共线。过点的直线叫做关于点的西姆松线西姆松定理的逆定理也成立，即：从的三边或它们的延长线引垂线，垂足分别为在同一直线上，则点在的外接圆上。西姆松定理还可以推广为：（卡诺定理）过的外接圆上一点，引与三边分别成同向的等角直线，与三边交点分别为，则三点共线。

8、例5．设的三条高为，过作的垂线，垂足分别为，则在同一直线上。例6．（史坦纳定理）设垂心为，其外接圆上任意一点，则关于点的西姆松线过线段的中点。例7．如图，设为外接圆上的两点，若关于的西姆松线和交于，则一．欧拉定理L．Euler（1707—1783），瑞士大数学家，在数学的多个领域都作出过重大贡献。欧拉定理设的外心、重