第5讲 倍长中线与截长补短

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1、2倍长中线与截长补短满分晋级三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短秋季班第四讲秋季班第三讲秋季班第二讲漫画释义倍长中线与截长补短21初二秋季·第2讲·提高班·教师版知识互联网教学目标：1掌握倍长中线的条件，学会运用倍长中线构造全等三角形，解决实际问题。2掌握截长补短的条件，学会运用截长补短构造全等三角形，解决实际问题。教学重点：判断倍长中线与截长补短的条件，构造全等三角形教学难点：灵活运用倍长中线与截长补短。教学对象：熟练掌握全等三角形的基础的同学。教学策略:自主、合作、探究先学后教，

2、当堂训练。介绍:此讲义适合全等三角形基础掌握扎实的同学，让孩子们学会构造全等的同时，可以解决最后的拔高题目。大家互相学习，有不到之处，欢迎批评指正，谢谢21初二秋季·第2讲·提高班·教师版题型一：倍长中线思路导航定义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中，延长使得，则．例题精讲【例1】已知中，平分，且，求证：．1先让同学们讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】延长到，使，连接．则，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴．【教师备选】教师可借用

3、例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1；21初二秋季·第2讲·提高班·教师版已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1；已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，求证：AB=AC．1先让同学们讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°∴△ABD≌△ACD(SAS)∴AB=AC．【拓展2】已知△ABC中，AD⊥BC，且，求证：AB=AC．1先让同学们

4、讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】∵AD⊥BC，且∴AD所在直线是线段BC的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等故AB=AC．典题精练【例1】⑴如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是．【解析】①正确．∵，，∴AD=2AC．②、④正确．延长到，使，连接．∵是的中线，∴．21初二秋季·第2讲·提高班·教师版在和中∴∴，∴在和中∴∴，∠FCB=∠DCB即CD=2CE，CB平分∠DCE．③错误．∵∠FC

5、B=∠DCB，而CE是AB边上中线而不是∠ACB的角平分线故∠ACE和∠BCD不一定相等．⑵如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确的是．【解析】点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2A

6、E，即AB+AC＞AD+AE．∴①②③④均正确．【例1】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，21初二秋季·第2讲·提高班·教师版，求证：．【解析】延长到，使，连接∵，，∴，∴，又∵，∴∴，∴，∴．【例1】在正方形ABCD中，PQ⊥BD于P，M为QD的中点，试探究MP与MC的关系．【解析】延长PM至点N，使PM=MN，连结CP、CN、DN．易证△PMQ≌△NMD，∴PB=PQ=DN，∠PQD=∠NDM∴PQ∥DN，又∵∠BPQ=∠BDN=90°∴∠PBQ=∠BDC=∠NDC=45°再证△BPC≌△DNC(SAS)易证△PCN为等腰直角

7、三角形，21初二秋季·第2讲·提高班·教师版又∵PM=MN，∴PM⊥MC,且PM=CM．题型二：截长补短思路导航定义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段上截取补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长，使得例题精讲【例1】在中，的平分线交于，，，求的大小．（希望杯培训题）1先让同学们讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】在上截取，连接．∵，，，21初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴，∴，，∵，，∴∴，典题精练【例1】如图，在中，，的平分线交于点．求证：．1先让同学们讨论解决此题的方法及

8、做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】方法一：（截长）在上截取，连接．在和中，，∴∴，又∵∴，∴∴．方法二：（补短）延长到点使得，