李群的基本概念

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1、3.2李群的基本概念一、李群的组合函数1.几个概念李群：是一种连续群，它的每个元素可以用一组独立实参数在欧氏空间的一定区域内连续变化，要求在参数的变化区域内，至少在测度不为零的区域内，群元素与参数值有一一对应的关系阶：独立实参数的数目群空间：参数变化范围；群空间维数就是连续群的阶群元素：群空间的点欧氏空间：定义实内积的线性空间，即有限维实内积空间（V,V）→R(实数)测度不为零区域：可以简单理解为维数与群空间维数相同的区域；边界是测度为零的区域♣用限制群空间范围的方法来实现在测度不为零的区域内群元素和参数值一一对应如：三维转动群的群空间取作：半径为π的球体，保证了球体内的群元素R

2、(n,ω)与参数值ωa的一一对应关系；在测度为零的球面上，直径两端的点，即两组不同的参数值，对应同一个群元素^2.组合函数：定义：设元素R∈G，参数为(r1,r2,...,rg)，简写为R(r1,r2,...,rg)=R(r);对群元素的乘积R(r)S(s)=T(t)，g个参数tj是2g个参数ri和sk的函数tj=fj(r1,...,rg;s1,...,sg)=fj(r;s)则g个函数fj(r;s)称为连续群的组合函数，它完全描写了群元素的乘积规则李群的组合函数：是解析函数在群空间连续可微（导），微积分的整套工具可以用来深入研究李群，使李群成为至今研究最深入、最成功的无限群群的组

3、合函数必须满足如下条件（对应群的四个条件）封闭性：组合函数定义域：(群空间)×(群空间)，值域仍是群空间，至少在测度不为零的区域，要求fj(r;s)是单值解析函数，【即R(r)S(s)=T(t)一一对应】结合律：fj[r;f(s;t)]=fj[f(r;s);t]【即R(r)[S(s)T(t)]=[R(r)S(s)]T(t)】恒元参数为ej，它包含在群空间内fj(e;r)=fj(r;e)=tj通常为方便取ej=0，此时R(r)E(e)=T(t)→R(r)=T(t)R的逆元参数记作rjfj(r;r)=fj(r;r)=ej【R(r)-1R(r)=E(e)=R(r)R(r)-1】¯¯¯¯

4、¯二、李群的局域(Local)性质1.邻近元素在群空间中，邻近的点对应的元素为邻近元素无穷小元素因常把恒元的参数选为零，恒元邻近的元素，参数是无穷小量，称为无穷小元素注意：不要把无穷小元素看成是一个很小的元素无穷小量是一个极限过程无穷小元素与群元素的微分运算相联系李群无穷小元素的性质决定了李群的局域性质E(e)A(α)B(β)A,B是无穷小元素，但不一定很小，参数α,β是无穷小量2.局域性质无穷小元素与任意元素R的乘积，是R的邻近元素乘积的参数在元素R参数的邻域中R的邻近元素和R-1相乘，得到无穷小元素粗略地说，无穷多个无穷小元素相继乘到群元素上，在群空间表现为由元素R对应点出发

5、的一条连续曲线......A2A1R因此，若在群空间中，代表R的点与代表恒元E的点，可以通过一条完全在群空间内的连续曲线相连接，则R可表示为无穷多个无穷小元素的乘积E数学上，元素R的性质可通过一个微分方程来描写3.无穷小元素的乘积规则两个无穷小元素A(α)与B(β)相乘，仍是无穷小元素两个无穷小元素相乘，参数关系如何？恒元参数取为零，无穷小元素参数——无穷小量αj和βj将乘积元素AB的参数按α和β做泰勒展开，略去二级以上无穷小量即由ej=0，AE=A，BE=B得ej=0E(ej)g个αkA(αj)g个βkB(βj)f(0;0)Ef(0;0)Eαj+βj=可见无穷小元素相乘，对应参

6、数相加互逆的无穷小元素的参数互为相反数即A-1的参数无穷小元素乘积满足交换律注意：并不意味群中所有元素乘积都满足交换律理论力学指出：无穷小转动乘积次序可以交换但有限转动乘积次序不能交换即三维空间转动群SO(3)不是阿贝尔群三、生成元和微量算符无穷小元素在李群中处于特殊重要的地位，现研究无穷小元素在变换算符群PG和线性表示D(G)中的性质1.微量微分算符设PR是元素R对应的标量函数变换算符，作用规则其中x代表所有自由度（坐标）若取R为无穷小元素A(α)，将上式按参数αj展开，取到一级无穷小，则其中a代表坐标序数1引入g个微量微分算符，它们线性无关这样李群中无穷多个无穷小元素对标量函

7、数的作用就可以用g个微量微分算符I(0)j完全描写如：一个特例：在三维空间，若x代表系统质心坐标，其它内部坐标没有标出，或系统本身就是一个质点，x是质点的坐标微量微分算符：无穷小元素：坐标动量三维空间转动变换无穷小元素对标量函数的作用→微量微分算符→对应量子力学中的轨道角动量算符2.生成元设m个函数基ψμ(x)架设对于PG不变的函数空间，对应群G的表示D(G)，即对无穷小元素A，把表示矩阵D(A)按无穷小参数展开，略去二阶以上无穷小量，得则g个Ij称为李群表示D(G)的生成元，它