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1、§1.4变换李群的无穷小算符设n维欧氏空间中坐标变换的总体构成变换李群G，其中：在上式变换下，n维欧氏空间中任一函数(x)的变换为上式可看作函数变换算符PR的定义因为空间同一点的函数值不变，故其中省去带撇号：其中为变换R的逆元素的参数对于无穷小变换，k为无穷小，∴∴引入r个无穷中小算符：则原式为：因为(x)是任意的，故——投影算符Zk——变换李群的无穷小算符，它的个数等于李各的阶数。------(*)可以证明：李群的无穷小算符的对易式可表为该群的无穷小算符的线性组合，并且同李群的生成元一样
2、，满足同样的对易式。其中为李群结构常数。------(☆)ex.1（r=2,n=1）当时是恒等变换，故在随近展开。其中：对易式：∴满足前页（☆）式。ex.2二维转动群SO（2）它是单参数，r=1,只有一个无穷小算符。据定义：令这是角动量Z分量算符（ħ=1）ex.3单位元：1=4=1,2=3=0在此附近展开对易关系：同理：x1=x,x2=y令a=i3/2,b=2/2+i1/2ex.4求SU(2)群的无穷小算符和对易关系SU(2)，U=（有三个独立参量，a,b是复数）∴a,b很小同理：
3、∴同理可以验证同理这个李代数称为A1ex.5三维转动变换SO(3)实空间中的无穷小转动为其中ij为无穷小参数，由于正交性，则可知：∴ij仅有三个独立参数设证：∴J1，J2，J3正是量子力学中的角动量算符，它们的对易关系：§1.5有限群元的生成群G生成元是在=0附近求得的，它反应了整个G的性质证明：在g(0)附近g()当并不很小时而很大时。在g(0)g()群空间分成N段此算子使g(0)变到g(/N)令Nex.1SO(2)群元素定轴转动无穷小生成元令，则∴完全决定了g()，即由g
4、()得到的决定g()根据李群的无穷小算符，来导出相应的函数变换PR。在变换李群的无穷小变换R下，函数变换算符为其中Zk为变换李群的无穷小算符当k不很小时，亦可将其分为N等分对多参数李群，如SO(3)，可以求出绕x,y,z轴分别转1，2，3角的转动算符:绕空间任意方向(方位角,)，转过角的转动算符，可表为；这是因为：取则=(123)为正则参数如选欧拉(Euler)角,,为SO(3)群参数。相继施行三个转动，则这是因为JxJyJz三个分量是不可对易缘故。∴欧拉角
5、,,为非正则参数§1.6不变积分李群的表示1.61不变积分在有限群中，群G上的函数f(A)(A∈G)具有下列求和不变式：（根据是有限群中各元素R都具有同样的权重weightfs)其中B为G中任意元素。对于李群(无限群)，是否也有相应的不变式呢？首先，应将上面求和改为对群参数的积分，并且必须引入权重函数:r群为的阶这样使得群上函数f(R)的积分在参数的变换下保持不变：上式即为不变积分（*）R为任意元素一般来说，上式成立是有条件的，可以证明：定理：对于紧致李群，可求得这样的权函数，使不变积分
6、（*）存在。ex.SO(3)用欧勒角,,，作参数时，权函数为：1.62密度函数（权函数）设有参数空间群元素：现将群元素R平移:其中：i.e.平移不变性要求：RSRajai比较上式左右得：or:简记作：将单位元素取作基准元素R(a)这样（∴这时R(a0)已同群元数无关）例：其又例：于是就有：再将则：其中：ex.1变换群——等密度在该群上的不变积分为：这是真接应用公式，如不用公式直算，则更直观：首先：另一方面：取则I=II，为不变积分实际上，上面不变积分即为其中c为任意实常数，的积分限即为
7、参数全空间。令ex.2变换群解：∴在群上的不变积分为：常量（对a积分时）另一解法，令∴在群上的不变积分为（即）对积分时，它是常量ex.3变换群：群上不变积分为：定理：在紧致无限群的情况下1.63李群的表示Def.1如果存在非奇异的l阶矩阵集合D(G)，它同给定李群G同构或同态，则称D(G)为李群G的一组l阶线性表示。一般说来，D(G)也是一个李群，表示的阶l可以是有限的，D(G)的个数也为无穷多个。Def.2若有一组基底，使表示的所有矩阵都取如下形式：则此表示称为可约表示。如果上式中Y(G)对
8、R∈G均为零，那么这表示称为完全可约的。有限群的线性表示等价于么正表示，因此，总可通过相似变换，使D(R)化为么正表示，从而Y(R)=0。所以有限群的可约表示必定是完全可约的，但对于李群，这个结论不一定对。ex.一维平移群（非紧致群）可以找到一组基函数在平移变换下，基函数变为：在这组基函数下，该平移群的一个二维表示为：它是可约的，但由于找不到一个相似变换使它对角化，所以它不是完全可约的。定理：(对于紧致李群)有限群表示论中的结论都可以移置到紧致李群中来例如：不可约么正表示的矩阵元有正交关系：其中
