李群的概要1thefirstchapteristhesummaryofliqun连续群和李群从离散群到连续群

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1、第一章李群的概要§1.1连续群和李群1.11从离散群到连续群群的分类（从元素的数目及分布角度）群ex:复数集合：：可用群的四条定义规则来检验：ⅰ）ⅱ）ⅲ）ⅳ）显然：①U(1)群是阿贝尔群②由连续变化,U(1)群的元素个数是不可数的，它是连续群，并且它具有以下特征：ⅰ）U(1)群的每一个元素都可用参数来标志，参数连续变化ⅱ）乘积元数g()g()所相应的参数+是参数和的连续函数ⅲ）逆元[g()]-1的参数也是的连续函数。1.1.2群的参量和连续群群中各元素可看作某个抽象空间（群空间groupspace）中的一个点集（群流形groupmanifold

2、）。群中的每个元素都可以唯一地用一组数（参数）来表示元素与参量之间成一一对应的关系。ex.U(1)群中元素的参量就是SO(2)群元素参量为Def.表示群元素所需要的最少数目的（实）参量称为必要参量（essentialparameteis）ex.若将一维平移群表示为：这变换中的参数，就不是essential。Def若连续群的元素由r个必要参量决定：则该群称为r阶连续群（r-parametercontinonsgroup），r称为群的阶。在离散群中（包括现在的无限离散群）的必要参量只有一个。ex，整数二维平移群Tmn：其中m，n为整数。图中每点代表一个群元素。各元素（

3、m,n）的编号如中所示只需要一个参量（红色编号）。(-1,0)(0,0)(-2,0)(1,0)(2,0)(-1,1)(0,1)(-2,1)(1,1)(2,1)(-1,2)(0,2)(-2,2)(1,2)(2,2)(-1,-1)(0,0)(-2,-1)(1,-1)(2,-1)(-1,-2)(0,-2)(-2,-2)(1,-2)(2,-2)19612112078910212223242518543121716151413群的单位元素记作：则通常取，即逆元素：群的逆元素存在要求对任意的群参数，均有参数存在，使得即群元素的逆元素的参数与群元素参数有关系；——（*）封闭性：由群

4、的封闭性要求对任意的群参数和，必有群参数存在，使得：因此，实参数必定是实参数和的函数：or——（**）这些函数称为群G的结合函数。结合律：结合律要求于是结合函数应满足：Def.1如果和式中的函数f和均是其变量的连续函数，则称群G为连续群。Def.2如果函数f和是其变量的解析函数（对各个变量具有任何阶的导数），那么群G称为李群（Liegroup）。（注：f解析，则g()也解析）对于李群，函数f和均可按它们的自变量展为一致收敛的泰勒级数。Def.若连续群的参量的数目r为有限，则该群称为有限连续群（finitecontionsgroup）Def.若表

5、示连续群的参量均在一个有界区域内变化，且该区域为闭区域，则该群称为紧致的（compact）。Def.若对应于连续群中的两个群元素与的参量所定义的距离则称这两个群元素互相趋近，记作：→or→1.1.3李群定义为连续群中，f和为解析函数。因此，李群是连续群的一种。U(1)——Liegroup（1阶）。一、r个参量的变换李群（r阶）设变换为：记为该变换的总体构成一个群·逆元：逆元存在要求即由（）式可解出xi，条件为雅可毕行列式不为零：（）·封闭性：要求：其中参数∴上式可写成对于变换李群，是它的绪变量的无限次可微函数李群的独立参数有r个，则该李群的阶就是r例如：U(1)为一

6、阶李群Def.群参数变化的范围简称为群参数空间ex,u(1)二．李群的例子1．G：·单位元：·逆元素：·封闭性：2．G：·单位元:·逆元：∴·封闭性∴显然1和2是连续任意阶可导。3．∴4．n维正交群O(n)先看二维(实)正交群O(2)，在O(2)的变换下，保持实二维空间中矢量长度不变，即当时，有or要保证矢量长度的不变，即∴必有∴∴同理证出由此，二阶矩阵A=中的4个参量受到三个关系式的限制∴O(2)是一个单参数李群三个限制条件：对于纯空间转动detA=+1纯空间转动群记为SO(2)，它的群元素为一个矩阵：且SO(2)是O(2)的一个子群。因为反演SO(2)是单参数的阿

7、贝尔群，SO(2)与U(1)同构。注意：高维转动群则是非阿贝尔群。n维正交群O(n)——实n维空间的线性变换群。它保持不变。即其中：A为n阶实矩阵矩阵A的n2个实参数受到个条件的限制满足∴n维正交群O(n)是阶李群，记作：其中GL(n,R)代表n维空间中的一般线性变换群。另外：O(n)的子群SO(n)(ASO(n);detA=+1)代表n维实空间中的纯转动根据陪集定理和拉格朗日定性，O(n)按子群SO(n)作陪集分解：其中为空间反演矢矩O(n)中行列式为-1的部分代表转动反演。Complexspace复空间5．n维么正群二维复