第4讲(3)矩阵的分解

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1、1.满秩分解4-3矩阵分解2.LU分解3.QR分解4.Schur分解5.奇异值分解121.满秩分解满秩分解反映出关于矩阵A的秩的信息.设矩阵A∈Rm×n，且rankA=r(r≤m,r≤n)，应用：当r远小于m和n时，利用满秩分解可以去除则存在矩阵分解：掉A中的冗余信息，节省存储量和运算量.A=FG，其中F∈Rm×r，且rankF=r(列满秩)，G∈Rr×n，且rankG=r(行满秩).称为满秩分解.342.LU分解定理1：矩阵A的LDU分解存在唯一(或LU分解存在)的充要条件是A的顺序主子式Dk≠0.设矩阵A∈Rn×

2、n，如果存在单位上三角矩阵L，下三角矩阵U，使得A=LU，则称之为A的LU分解.LU分解的实现过程实际上就是Gauss消去法.如果存在单位上三角矩阵L，单位下三角矩阵U，应用：求解线性方程组Ax=b.对角矩阵D，使得A=LDU，则称之为LDU分解.561对称正定矩阵的Cholesky分解3.QR分解A=LLT设矩阵A∈Rn×n，且非奇异，则存在正交矩阵Q，其中L为下三角矩阵.非奇异上三角矩阵R，使得A=QR，称之为QR分解(QRdecomposition)，且此时分解唯一.设矩阵A∈Rm×n(m>n)，且列满秩，则存

3、在正交矩阵Q∈Rm×m，上三角矩阵R∈Rm×n，使得A=QR.78而且此时Q=[Q1Q2]，R=[R1;0]，其中Q1∈Rm×n满足Q1TQ1=In，R1∈Rn×n是非奇异上三角矩阵.这样分解式为A=Q1R1，称为compactQRdecomp.当A不是非奇异或列满秩时，情况会怎样？QR分解的实现方式：GS/MGS，Givens变换，Householder变换.9104.Schur标准型推论1：(1)A是正规矩阵的充要条件是存在酉矩阵定理2（Schur分解）设A是n阶复矩阵，则存在酉U使得U*AU是对角矩阵.矩阵U使

4、得∗UAUT=,其中T是上三角矩阵，其对角元就是A的特征值.而(2)A是Hermite(对称)矩阵的充要条件是存在酉(正且适当选取U，可使T的对角元素按任意指定的顺交)矩阵U使得U*AU是实对角矩阵.序排列.复矩阵A称为正规(normal)矩阵，若A*A=AA*.11122定理3（实Schur分解）：设A是n阶实矩阵，则存4.奇异值分解(SVD)在正交矩阵Q使得定理4：设A是m×n的复矩阵，秩为r，则存在两TUAUT=,个酉矩阵U∈Cm×m，V∈Cn×n，使得其中T是拟上三角(quasiuppertriangular

5、)矩阵，即T是分块上三角矩阵，对角块是1×1或2×2的UAV∗==Σ⎡⎤Σr0,⎢⎥⎣⎦00块，其中1×1的块对应A的实特征值，2×2的块对应A的共轭成对的复特征值.而且适当选取Q，可使其中Σr=diag(s1,…,sr)，s1≥s2≥…≥sr.T的对角块按任意指定的顺序排列.(实)Schur分解是数值计算特征值的理论基础.1314推论2：设A是m×n的复矩阵，秩为r，则定理中的分解式称为A的奇异值分解(SingularValueDecomposition).(1)A的非零奇异值的个数等于A的秩r；si称为A的奇异值

6、(singularvalue).(2)vr+1,…,vn构成N(A)的标准正交基；V的第i列称为属于si的右单位奇异向量.(3)u1,…,ur构成R(A)的标准正交基；U的第i列称为属于si的左单位奇异向量.1516(4)记U=[U1U2]，V=[V1V2]，其中U1∈Cm×r，V1∈Cn×r则有r∗∗AUV==11Σσri∑uvii,i=1称为A的满秩奇异值分解.SVD有着广泛的应用，如Google.nmTTRN=⊕()AR(),ARN=⊕()AR().A173