立体几何垂直

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1、线线垂直1.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．2.在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC．3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E在棱CD上移

2、动．（Ⅰ）当点E为CD的中点时，试判断直线EF与平面PAC的关系，并说明理由；（Ⅱ）求证：PE⊥AF．4.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．5.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E为线段AD上的任意一点（不包括A、D两点），平面CEC1与平面BB1D

3、交于FG．（1）证明：AC⊥BD；（2）证明：FG∥平面AA1B1B．6..已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AD=DD1=2，BC=DC=1，DC⊥BC，AD∥BC，E，F分别为CC1，DD1的中点．（I）求证：BF⊥A1B1；（Ⅱ）求证：面BEF∥面AD1C1．7.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅱ）证明：EF⊥A1C．8.如图，已知PA⊥

4、矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．9.已知长方形ABCD中，AD=，AB=2，E为AB中点．将△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱锥P﹣BCDE，如图所示．（1）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；（2）当平面PDE⊥平面BCDE时，求四棱锥P﹣BCDE的体积；（3）求证：DE⊥PC．线面垂直1.如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB=2，O是AB的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面POC；（

5、Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的体积．2.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ACD是正三角形，BD垂直平分AC，垂足为M，∠ABC=120°，PA=AB=1，PD=2，N为PD的中点．（1）求证：AD⊥平面PAB；（2）求证：CN∥平面PAB．4.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C

6、；（2）若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．5.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为l，点F、H分别为A1D、A1C的中点．（Ⅰ）证明：A1B∥平面AFC；（Ⅱ）证明：B1H⊥平面AFC．6.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点，（1）求证：FH∥平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；（3）求四面体B﹣DEF的体积．7.如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB⊥AD，

7、AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．（1）证明：BM⊥平面SMC；（2）设三棱锥C﹣SBM与四棱锥S﹣ABCD的体积分别为V1与V，求的值．8.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，锐角三角形PAB所在的平面与底面ABCD垂直，∠PBC=∠BAD=90°．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求证：AD∥平面PBC．9.已知四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，BD=AD，AB=2，四边形ABEF为正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥平

8、面ADF；（2）若M为CD中点，证明：在线段EF上存在点N，使得MN∥平面ADF，并求出此时三棱锥N﹣ADF的体积．10.如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；（