立体几何垂直证明(基础)

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1、立体几何垂直的证明类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：掌握几种模型①等腰（等边）三角形中的中线②菱形（正方形）的对角线互相垂直③勾股定理中的三角形④直角梯形⑤利用相似或全等证明直角。【例1】在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为中点,求证：(1)(2)（2）异面垂直（利用线面垂直来证明）【例2】在正四面体ABCD中，求证：【变式1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知．证明：；6【变式2】如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△AED,△DCF分别沿折起，使两点重合于.求证

2、:；【变式3】如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º。证明：AB⊥PC类型二：直线与平面垂直证明方法利用线面垂直的判断定理【例3】在正方体中，,求证：【变式1】如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=.求证：CD⊥平面A1ABB1；6【变式2】如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，求证：平面BCD；【变式3】如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，平面．，，，求证：平面利用面面垂直的性质定理【例

3、4】在三棱锥P-ABC中，,，。【变式1】在四棱锥，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且,求证：6类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)ABCDEF【例5】如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；【例6】如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．（1）证明；（2）证明平面；【变式1】已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2．（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；6类

4、型三：平面与平面垂直证明1.AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，点N为垂足，求证：平面PAM平面PBM2．如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E，F，Ｇ分别为ＣＤ，ＤＡ和对角线ＡＣ的中点。求证：平面ＢＥＦ平面ＢＧＤ.3.在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，AB＝AA1.(1)求证：C1O∥平面AB1D1；(2)求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1.64.如下图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，

5、AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.6