保险风险理论研究简介

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1、保险风险理论研究简介（中南大学数学科学与计算技术院）刘再明报告结构古典风险模型保险风险模型的研究现状及发展趋势一类马氏调制风险模型预备知识：齐次Poisson过程一、古典风险模型保险风险理论是概率论与数理统计应用研究的一个重要分支，主要借助概率论与随机过程理论来构造数学模型，描述各种风险业务，着重分析和研究与保险公司资产盈余等相关指标的概率统计规律（如破产概率等），为保险公司的长期稳定经营提供理论依据。风险理论已经发展了一个较长时期，较为系统的理论始于Lundberg和Cramer,他们建立了风险理论与随机过程理论之间的联系。关于风险理

2、论系统的论述当推Gerber和Grandell的著作。近几十年来，随机过程理论在风险问题研究中的地位不断提高，应用随机过程新的理论和方法来研究风险理论，不仅大大简化了一些经典结果的证明，而且可以解决许多新问题（如平均破产时间、破产瞬间前后的盈余额的分布、破产前最大盈余额的分布、引起破产的索赔额分布以及破产到恢复期间的最大盈余额的分布等问题的研究）。所应用的主要方法有鞅方法、更新理论方法和马尔可夫过程理论等等。通常的保险风险模型描述如下其中，表示在时刻t公司的盈余额，u为初始准备金。古典风险模型又称为经典风险模型是研究时间最长并且理论最为

3、完善的风险模型。它表述如下：令是一个完备的概率空间，模型中的所有的随机变量和随机过程均定义在这样一个概率空间上。（1）过程是一个强度为的Poisson过程（2）是独立同分布的非负随机变量序列，分布函数为，且，期望为（3）与相互独立，令：其中，是初始准备金，是常数，表示单位时间的保费收入，表示时间间隔内发生的索赔的次数，表示第i次的索赔量。有时也称为复合Poisson风险模型，为此模型的盈利过程，这里的保费收入过程是时间t的线性函数。古典风险模型研究的一个主要问题就是破产概率，也就是盈余过程在某时刻小于零的概率。写成数学表达式破产概率即为

4、：而称为生存概率。令：假设，当时，有。（即为轻尾分布，或矩母函数存在）。定义相对安全负荷，设。对于古典风险模型，的破产概率主要结果有：（1）（2）当服从指数分布时，（3）（Lundberg-Cramer逼近），（4）（Lundberg不等式）。其中（3）（4）中出现的R称为Lundberg指数，即的正解。古典风险模型除了上述主要结果外，另外还有大量文献对此进行了多方面的研究，得到了许多很好的结果，如AlfredoEgidiodosReis(1993,2002),Dickson,D.C.M.(1992),HansU.GerberandEl

5、iasS.W.Shiu(1973,1990,1997)等等。详情可见Grandell的著作《AspectsofRiskTheory》。二、保险风险模型的研究现状及发展趋势古典风险模型的推广离散风险模型的介绍保险风险理论发展中的重要工作及经典著作当前国内的研究情况古典风险模型的推广古典风险模型的研究为风险理论的研究奠定了基础，但其模型比较简单条件要求强。随着保险业的发展、险种的不断增加，古典风险模型不能很好地反应保险公司的实际情况。因此，对古典风险模型作出更符合实际情况的推广很有必要。这些推广主要有以下几个方面：将古典风险模型的索赔到达过

6、程（齐次Poisson过程）进行推广：推广为广义齐次Poisson过程；推广为非齐次Poisson过程；推广为Cox过程：Cox风险模型；推广为一般的更新过程：更新风险模型；等等。将古典风险模型中的保费收入为线性函数（）进行推广：常数保费率推广为受马氏调制的可变费率情况；常数保费率推广为随当前资产盈余而变化的情况；考虑离散时间收取保费的情况（固定时间、随机时间等等）。考虑利息率、通货膨胀率、投资收益及随机干扰等因素:带利率的风险模型；带随机干扰的风险模型（Brown运动干扰、其它干扰）；随机环境中的风险模型。把单险种模型推广为多险种模型

7、：双险种模型；多险种模型；具有延迟的多险种模型。把索赔额分布（轻尾分布）进行推广：重尾分布风险模型。为轻尾分布：；重尾分布：不是轻尾分布）。离散风险模型的介绍相对连续风险模型来说，离散风险模型研究的要少一些，且大都集中在完全离散复合二项风险模型的研究方面。离散风险模型实际背景描述如下：在保险公司的事务中，假定：只在每个离散时刻收取保费并可能进行一次赔付（在连续时间段中发生的赔付以及收取的保费均视为在时刻n进行）；保险公司在时刻，有初始准备金（），而且只通过收取保费获得收入，假定每单位时间收取的保费为，仅有的支出为投保人发生事故后，公司对

8、其进行赔付；记第i次赔付量为，为到n时刻的总索赔；表示保险公司在时刻n的盈余资产。完全离散复合二项风险模型进一步满足：,；,是取值于的独立同分布的随机变量序列，相同的分布列为：,；索赔计数过程,是具有参数为