变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍

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1、微积分讲义设计制作王新心8/22/2021§4.8变化率及相对变化率（一）函数变化率——边际函数（二）成本在经济中的应用（三）收益（四）函数的相对变化率——函数的弹性（五）需求函数与供给函数（六）需求弹性与供给弹性（七）用需求弹性分析总收益的变化8/22/2021（一）函数变化率——边际函数第四章中值定理与导数的应用设函数　　　　可导，导函数　　也称为边际函数。称为　　在　　　　　内的平均变化率，它表示　　在　　　　　内的平均变化速度。8/22/2021第四章中值定理与导数的应用际函数值，相应改变的真值应为　　　。在点　　　处，从　改变一个单位，在　　处的导数　　　称为　　

2、在点处的变化率，也称为　　在点　　处的边它表示　　在点　　处的变化速度。单位很小时，但当　改变的或　的“一个单位”与　值相对来说很小时，则有8/22/2021第四章中值定理与导数的应用的改变时，当　产生一个单位这说明　　在　　处，在应用问题中解释边际函数值的具体意义近似改变　　　个单位。时一般略去“近似”二字。8/22/2021第四章中值定理与导数的应用例1函数在点　　　处边际函数值为它表示当　　　时，改变一个单位，（近似）改变　个单位。例2设某产品成本函数　　　　（　为总成本，　为产量），其变化率　　　　称为边际成本。本。称为当产量为　时的边际成西方经济学家的解释是：生产

3、　前最后一个单位产品所增添的成本。当产量达到　时，8/22/2021第四章中值定理与导数的应用（二）成本某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳动力、原料、设备等）的价格或费用总额。它由固定资本与可变资本组成。平均成本是生产一定量的产品，平均每单位产品的成本。边际成本是总成本的变化率。8/22/2021第四章中值定理与导数的应用在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，产品的总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数。设　为总成本，为固定成本，为可变成本，为平均成本，为边际成本，为产量则有总成本函数平均成本函数8/22/2021第四章中值定理与导数

4、的应用例3已知某商品的成本函数为边际成本函数本。解由求：当　　　时的总成本、平均成本及边际成有8/22/2021第四章中值定理与导数的应用平均成本最小？平均成本解由总成本当　　　时，边际成本例4例3中的商品当产量　为多少时，令得又所以　　　时，平均成本最小。8/22/2021第四章中值定理与导数的应用（三）收益收益是生产者出售一定量产品时所得到的全部收入。平均收益是生产者出售一定量的产品，平均每出售单位产品所得到的收入，边际收益是总收益的变化率。即单位产品的售价。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。8/22/2021第四章中值定理与导数的应用设　为商品价格，为商品数量

5、，益，为平均收益，为边际收益，为总收则有需求（价格）函数总收益函数平均收益函数边际收益函数8/22/2021第四章中值定理与导数的应用需求与收益的关系总收益与平均收益的关系8/22/2021第四章中值定理与导数的应用总收益与边际收益的关系（参见第六章）8/22/2021第四章中值定理与导数的应用例5设某产品的价格与销售量的关系为收益。求销售量为　时的总收益、平均收益的与边际解8/22/2021第四章中值定理与导数的应用下面讨论最大利润原则：取得最大值的必有条件为即取得最大利润的必有条件：设总利润为边际收益　边际成本8/22/2021第四章中值定理与导数的应用取得最大值的充分

6、条件为即取得最大利润的充分条件：边际收益的变化率　　边际成本的变化率8/22/2021第四章中值定理与导数的应用例6已知某产品的需求函数为成本函数为求产量为多少时总利润解由并验证是否符合最大利润原则。最大？有8/22/2021第四章中值定理与导数的应用令　　　　，得所以当　　　时，总利润　最大。此时有有所以符合最大利润原则。8/22/2021第四章中值定理与导数的应用例7某工厂生产某种产品，每生产一单位产品，元，问每年生产多少产品时，元，总利润最大？固定成本成本增加已知总收益　是年产量　的函数此时总利润是多少？8/22/2021第四章中值定理与导数的应用得总利润函数为总成本

7、函数为解由题意知，8/22/2021第四章中值定理与导数的应用令　　　　，得所以　　　时　最大。此时即当年产量为　　个单位时，总利润最大，此时总利润为　　　元。8/22/2021第四章中值定理与导数的应用（四）函数的相对变化率——函数的弹性前面谈到的函数的改变量与函数的变化率是绝对改变量与绝对变化率，到，仅仅研究函数的绝对改变量和变化率是不够的。商品乙每单位价格1000元，例如，商品甲每单位价格10元，品的绝对改变量都是1元，从实践中我们体会涨价1元；也涨价1元。两种商但各与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大不同