受扭杆的强度和刚度

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1、【内容提要】本章介绍切应力互等定理和剪切胡克定律，圆轴扭转时的应力和变形，以及强度和刚度计算。简单介绍矩形截面杆自由扭转时的应力和变形。1.理解切应力互等定理。2.理解剪切胡克定律。3.掌握圆轴扭转时的应力和强度计算以及变形和刚度计算。【学习目标】四川建筑职业技术学院第9章受扭杆的强度和刚度四川建筑职业技术学院4.掌握矩形截面杆自由扭转时的应力和强度计算以及变形和刚度计算。§9－1圆轴扭转时的应力和强度计算9－1－1圆轴扭转的实验1.扭转试验现象与分析图a所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线，形成矩形网格。在弹性范围内，扭转变形

2、后（图b），可以观察到以下现象：四川建筑职业技术学院（1）各纵向线都倾斜了一个微小的角度，矩形网格变成了平行四边形。（2）各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕轴线转动了不同的角度。四川建筑职业技术学院根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断：①由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设圆轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动。这一假设称为圆轴扭转时的平面假设。②由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没有正应力。③由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了相对转动，故可推断横截

3、面上必有切应力τ，且切应力的方向垂直于半径。④由于各纵向线都倾斜了一个角度，故各矩形网格的直角都改变了角，直角的改变量称为切应变。四川建筑职业技术学院2.切应力互等定理设矩形网格ABCD沿纵向长为dx，沿圆周向长为dy，以它作为一个面，再沿半径方向取长为dz，截出一个微小正六面体，称为单元体，如图所示。由平衡方程，得(τdydz)dx=（τ′dxdz）dy故τ=τ′四川建筑职业技术学院上式表明，在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向共同指向或背离该两面的交线。这一结论称为切应力互等定理。单

4、元体的两对面上只有切应力而没有正应力，这种应力情况称为纯剪切。3.剪切胡克定律当切应力τ未超过材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与其切应变γ成正比。τ=GγG称为材料的切变模量。四川建筑职业技术学院9－1－2圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式T——横截面上的扭矩，以绝对值代入；——横截面上欲求应力的点处到圆心的距离；Ip——横截面对圆心的极惯性矩四川建筑职业技术学院当=R时，切应力最大，最大切应力令则有——扭转截面系数。四川建筑职业技术学院圆截面：圆环形截面：——内、外径的比值。应该注意，扭转时应力

5、的计算公式只适用于圆轴。四川建筑职业技术学院例9－1空心圆轴的横截面外径D=90mm，内径d=85mm，横截面上的扭矩T=1.5kN·m。求横截面上内外边缘处的切应力，并绘制横截面上切应力的分布图。解（1）计算极惯性矩。极惯性矩为（2）计算切应力。内外边缘处的切应力分别为四川建筑职业技术学院9－1－3圆轴的强度计算圆轴扭转时的强度条件为例9－2如图a所示的空心圆轴，外径D=100mm，内径d=80mm，外力偶矩Me1=6kN·m、Me2=4kN·m。材料的许用切应力[]=50MPa，试对该轴进行强度校核。四川建筑职业技术学院解（1）求危险

6、截面上的扭矩。绘出轴的扭矩图如图b所示，BC段各横截面为危险截面，其上的扭矩为Tmax=4kN·m（2）校核轴的扭转强度。截面的扭转截面系数为轴的最大切应力为可见轴是安全的四川建筑职业技术学院例9－3实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌离合器连在一起，如图所示。已知轴的转速n=100r/min，传递功率P=10kW，材料的许用切应力[t]=20MPa。（1）选择实心轴的直径D1。(2)若空心轴的内外径比为1/2，选择空心轴的外径D2。(3)若实心部分与空心部分长度相等且采用同一种材料，求实心部分与空心部分的重量比。四川建筑职业技术学院解轴承受的外力

7、偶矩为故轴任一横截面上的扭矩为T=Me=955N·m（1）选择实心轴的直径。由强度条件得（2)选择空心轴的外径D2。空心圆截面的扭转截面系数为四川建筑职业技术学院（3）实心部分与空心部分的重量比为显然空心轴比实心轴节省材料。四川建筑职业技术学院§9－2圆轴扭转时的变形和刚度计算9－2－1圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形通常是用两个横截面绕轴线转动的相对扭转角f来度量。dφ——相距为dx的两横截面间的扭转角；T——横截面上的扭矩，以绝对值代入；G——材料的切变模量；Ip——横截面对圆心的极惯性矩。四川建筑职业技术学院相距为l的两横截面间的扭

8、转角为积分后得GIp称为圆轴的扭转刚度，用它来表示圆轴抵抗扭转变形的能力。工程中通常采用单位长度扭转角，即单位长度扭转角的单位为rad／m四川建筑职业技术学院9－2－2圆轴的刚度计算在实际工