人口与社会的数学模型

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1、人口与社会的数学模型1.人口增长和预测模型Malthus模型Logistic模型中国特色人口模型Leslie离散模型中国药科大学言方荣等编制人口增长和预测模型Malthus模型Logistic模型中国特色人口模型Leslie离散模型当今人类面临的五大问题(1)人口问题(2)工业化的资金问题(3)粮食问题(4)不可再生的资源问题(5)环境污染问题(即生态平衡问题)。建立人口增长数学模型，用以描述人口增长过程，通过分析对人口增长进行预测，制定相应的人口政策以控制人口增长，于国于民均有利。人口模型的研究1798年Malthus出版了《人口原理》，书中提出了著名的影响深远的Malthu

2、s人口模型1838年P.F.Verhust对Malthus模型进行了修正，得出了Logistic模型1924年G.V.Yule引入概率观点对人口问题进行了研究，1945年P.H.Leslie完成了按龄离散型人口模型。1959年Van.H.Fpoerster提出现代按龄连续型人口模型近年来我国学者为了解决我国人口迅猛增长问题，建立了有关中国人口预测和控制模型，为我国制定人口政策提供依据。影响人口增长的因素人口的基数，出生率和死亡率的高低，人口男女比例大小，人口年龄组成情况，工农业生产水平的高低，营养条件，医疗水平，人口素质，环境污染情况。另外还涉及到各民族的风俗习惯，传统观念，自

3、然灾害，战争，人口迁移等等。建模总的思路如果一开始把众多因素都考虑，则无从下手。先把问题简化，只考虑影响人口增长的主要因素——增长率(出生率－死亡率)及人口基数。其余因素的影响暂不考虑，建立一个较粗的数学模型。在这个模型的基础上逐步考虑次要因素的影响，进而建立与实际情况更吻合的人口模型。用微分方程描述人口增长过程初看起来，人口增长是不能用微分方程来描述的，因为人口总数是按整数变化的而不是时间的可微函数。然而，如果总数很大时，可以近似认为它是时间的连续函数，甚至是可微函数。这即离散变量连续化处理，这一点应能很好地理解和掌握。一、Malthus模型Malthus与人口指数增长模型英

4、国人口统计学家Malthus(1766一1834)在担任牧师期间，查看了教堂100多年人口出生统计资料，他发现这样一个现象，即人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。于是在1798年《人口原理》一书中，提出了闻名于世的Malthus人口指数增长模型模型的构成设N(t)表示t时刻人口总数，r(t，N(t))表示t时刻人口增长率，假设只考虑人口增长率，其他因素的影响暂不考虑。则在t到t+△t这段时间内人口增长为N(t+△t)－N(t)=r(t，N)N(t)△t两端同除以△t，并令△t→0，有dN/dt=r(t,N)N(t)(1）模型(1)看似简单，

5、其实由于出生率r(t，N)的不确定性，给(1)的求解带来困难。下面将逐步深入地讨论模型(1)。Malthus模型的构成根据Malthus基本假设，在上述模型中令r(t,N)=r(常数)得dN(t)/dt=rN(t)N(t0)=N0(2)其解为N(t)=N0·er(t-t0)(3)(2)是(常微分)线性方程，称为Malthus人口模型。即人口以er为公比，按几何级数增加。因为这时r表示年增长率，通常r<<1，所以可用近似关系erl+r将(3)式写作N(t)N0(l+r)t-t0(4)Malthus模型的检验据估计1961年全世界人口总数为3.06×109，而在此之前的10年人

6、口按每年2%的速率增长。因此t0=1961，N0=3.06×109，r=0.02于是N(t)=3.06×109e0.02(t-1961)(5)这个公式非常准确地反映了在1700-1994年期间世界估计人口总数。因为在这期间地球上人口大约每隔35年增加一倍，而上述方程断定每隔34.6年增加一倍。(人口倍增时间)人口倍增时间T的计算设在T=t-t0时间段内地球上的人口增加一倍。即当T=t-t0时，2N0=N0erTerT=2两端取对数，得rT=ln2即T=ln2/r=0.6931/r=34.6与现有的数据吻合得较好Malthus模型不符合未来长期预测因为当t→+∞limN(t)=l

7、imN0·er(t-t0)=+∞由Malthus模型(5)式可以推出2510年世界人口总数将是2×1014人(如果将全世界所有陆地，海洋面积均算在内的话，每人平均仅有0.864m2(9.3平方英尺))，2635年将为1.8×1015人(每人平均有0.093m2(1平方英尺))，2670年将是3.6×1015人(3600万亿)。显然，这些数字说明Malthus人口模型对长期预测是不正确的。二、Logistic人口模型二、Logistic模型Malthus模型为什么只符合人口的过去而不能用来预测