川大电路理论第1章

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1、第五章电路的时域分析电路时域分析的基本概念：零输入响应与零状态响应；自由响应和强迫响应；冲击响应和阶跃响应；固有频率和时间常数。一阶电路的三要素分析法。LTI电路的基本性质。求解任意激励信号产生的零状态响应的普遍方法——卷积积分。(1)零输入响应的定义定义：LTI(LinearTimeInvariant)电路在外加激励信号为零时，仅仅由电路的初始储能所产生的响应，叫电路的零输入响应。§5.1一阶电路时域分析5.1.1一阶电路的零输入响应对于一阶有损动态电路：的齐次方程的非零解，即为零输入响应yzp(t),同理，可推广至高阶电路。(2)一阶RC

2、电路的零输入响应列出电路结构规律方程＿KCL或KVL列出电路元件规律VCR方程将(2)代入(1)，即得到电路微分方程建立电路微分方程的方法步骤：如图示RC电路，开关闭合前，电容已经达到充分充电，电容电压uc(0)＝U0，当t=0时开关闭合，求RC电路接通后，电容电压uc(t)和电流的变化规律。解：在(t≥0)后，选uc(t)为变量，建立微分方程（因为uc(t)表征了电路中的储能状态，有承上启下的作用）。①列KVL和KCL方程(t≥0)KCLKVL②列元件VCR:③化简得：电路微分方程的求解方法步骤：(1)确定初始条件：由(2)求解微分方程对于

3、数学问题解：①求初始条件，依据换路定理：②求解：ⅰ.求特征方程：设通解：代入微分方程得：ⅱ.设通解：ⅲ.定常数k：则（λ只决定电路本身的结构，反应电路本身固有的性质，称为电路的固有频率，单位用１/秒表示。）所以RC电路的零输入响应：（τ=RC称为电路的时间常数，反应了电路本身的固有性质，决定电路的响应衰减的快慢，单位是秒。）RC电路电容电压的变化规律RC电路电容电流的变化规律(3)物理解释：可见当t≥4τ时，电压uc(t)已下降到初始电压值U0的1.84%以下，一般已可近似认为衰减到零（理论上，仅当t→∞时，uc(t)→０）。因而τ愈小，与衰

4、减愈快；τ愈大，与衰减愈慢。当电路开关未闭合时:当开关闭合(换路),因为储能有限，所以由换路定理得：当t≥0后，电路闭合形成通路，所以通过RC电路放电，放电是按指数规律进行的，放电速度的快慢由e的指数决定。当t→∞，uC=0，放电结束。例１：已知电路如下图所示，t＜0时电路处于稳态，t≥0时K1打开，K2闭合，试求t≥0时的i(t)。解因为t≥0时所以只要求出uc(t)，即可求得i(t)。①建立电路微分方程对节点A列KCL方程对回路l列KVL方程将(a)式代入(b)式得列VCR方程②确定初始条件因为t＜0电路处于稳态，所以根据换路定律得③求解

5、微分方程因为(c)式的特征方程为所以又因为所以④求i(t)例２：已知电路如图，t＝0时开关k闭合，K闭合前电路处于稳态，试求t≥0时的i1(t)、i2(t)和iC(t)。解：对于t≥0的电路建模得于是得：且初始条件解得所以4.零输入响应与初始状态的关系小结：一阶RC、RL电路，可用一阶微分方程来描述它的零输入响应对于一阶RC电路：对于一阶RL电路：（1）从物理意义上说，零输入响应是在零输入时非零初始状态下产生的，它取决于电路的初始状态，也取决于电路的特性。对一阶电路来说，它是通过时间常数τ或电路固有频率λ来体现的。（2）从数学意义上说，零输入

6、响应就是线性齐次常微分方程，在非零初始条件下的解。（3）在激励为零时，线性电路的零输入响应与电路的初始状态呈线性关系，初始状态可看做是电路的“激励”或“输入信号”。若初始状态增大A倍，则零输入响应也增大A倍，这种关系我们称为“零输入线性”。零输入响应的特性如下:对于例１，我们也可以如下方法加以解决。一阶电路的零输入响应为所以对电路断开C，令内部独立源为零，并外加电压源us，可求得戴维南电阻初始条件所以则5.1.2一阶电路的零状态响应(1)零状态响应的定义定义：线性时不变电路在初始状态为零时，仅仅由外加激励f(t)所产生的响应，叫电路的零状态响

7、应。对一阶电路：的解yzs(t)叫电路的零状态响应。上面的定义也适用于高阶电路。对于高阶电路的解yzs(t)叫该电路的零状态响应。(2)一阶RC电路的零状态响应：RC电路，开关闭合前（t＜0），电容初储能为0，t≥0后，K闭合，求uC(t)和iC(t)。①建模列KCL,KVL:列VCR：联解得：②求解求初始条件设解为首先由齐次方程求通解uCh(t)，因为求得通解得设特解为则由全解表达式和零初始条件定系数k所以因为当t→∞时，电路进入温态，C开路，uC(∞)=Us，所以(3)物理意义：可以证明在t→∞期间即：供能耗能充电效率为50%零状态响应：

8、(2)一阶RL电路的零状态响应：由对偶电路原理可得RL电路小结：在恒定电压的激励下，一阶电路的零状态响应为：的解零状态响应的特性如下:从物理意义上说，电路的零状态响