刚体的定轴转动1

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1、第四章刚体的定轴转动实际物体都是有形状、大小的。当需要研究物体的自身运动时，物体不能被看作质点。但很多情况下，可忽略物体在运动过程中的形变。刚体：物体内任意两点间的距离在运动中保持不变。研究方法：视刚体为无穷多质点组成的质点系。每一质点的运动服从牛顿定律。而整个刚体的运动规律是所有质点运动规律的叠加。刚体的一般运动平动（可看作质点）转动定轴转动非定轴转动（1）刚体的角动量、转动惯量；（2）刚体的转动定理及其应用；（3）刚体的角动量定理和角动量守恒定律；（4）力矩的功、转动动能、刚体的动能定理。主要内容：

2、返回§4-1刚体的运动定轴转动：刚体上所有质点均绕一固定直线作圆周运动，该直线称为转轴。非定轴转动：刚体上所有质点绕一直线作圆周运动，该轴也在空间运动.平动：刚体内任意两点连线的方向在运动中保持不变。AA’A’’BB’B’’pvω本章主要讨论刚体的定轴转动。返回§4-2质心、质心运动定理在讨论质点系的运动时，引入质心（或质心参照系）的概念，常可简化计算。则质心的位矢定义为：对质量连续分布的物体：或：xyzomiC为质点系总质量。其中：或：设质点系各质点质量m1、m2、…mi、…mn，它们的位矢质心相对

3、于质点系中各质点的位置是确定的，该位置不因坐标系的不同选择而不同。例：质量均匀的细杆，坐标原点选在一端。CoxdxL/2xM,L例：质量均匀的细杆，坐标原点选在杆中央。CoxdxxM,L对质量分布均匀，形状对称的物体，质心就在其几何中心。质心、重心是两个不同的概念，但物体不太大时，质心和重心位置重合。当以质心为参照系时，质点系总动量为零。质心运动定理：由质点系的动量定理：可见：一个质点系质心的运动，就好象一个质点的运动。该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点所受的力等于整个质点系所受外力之和。即

4、：称为质心运动定理。返回§4-3刚体的角动量、转动惯量1、刚体定轴转动的角量描述：角位移矢量：dt时间内位矢转过的角度。方向沿转轴角速度矢量：角位移的时间变化率。定轴转动刚体上任一质元的线速度和角速度的关系为：角加速度矢量：角速度的时间变化率。pα刚体定轴转动时转轴固定不动，所以各角量可用标量表示。刚体定轴转动时，各质元角量均相同，但各质元线量均不同。角量与线量的关系：可见：研究刚体定轴转动时用角量描述比用线量描述方便得多。2、刚体的角动量：刚体定轴转动不能用动量进行描述，而要用角动量进行描述。

5、定义：刚体上任一质元对转轴的角动量：整个刚体对转轴的角动量为：定义：刚体绕某定轴的转动惯量：单位：kg·m2所以，刚体对某转轴的角动量：p质点的角动量3、转动惯量的计算：转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它的大小取决于：(1)刚体质量；(2)质量的分布；(3)转轴的位置。对质量连续分布的刚体：质量体分布时：质量面分布时：质量线分布时：质量元dm到转轴的⊥距离应用以下两个定理，往往可简化转动惯量的计算：(1)平行轴定理：(2)正交轴定理：设zc为通过刚体质心的转轴，z为与zc平行的另一转轴。两转轴相距d

6、，则：其中：md2相当于质量全部集中于c时，对z轴的转动惯量。刚体对通过质心转轴的转动惯量最小。薄板形刚体对板内两正交轴的转动惯量之和等于刚体对过两轴交点并垂直于板面的转轴的转动惯量。Czzcdyozx例题4-1：求质量为M、长为l的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。（1）棒上任取线元dx，其质量为dm。L、MxdxC该线元对转轴的转动惯量为：整根棒对转轴的转动惯量为：L、MxdxL、Mh

7、Czzc（2）当转轴取在棒的一端时：（3）当转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直时：由平行轴定理：当h=L/2时，与(2)的情况相同，由上式：例题4-2：求密度均匀的圆盘对通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为M。在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环，环的面积为2rdr，环的质量为：转动惯量：prdrM返回P60常见的几种的转动惯量竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？§4-4刚体的转动定理外力对刚体定轴转动的影响，与力的大小、方向、作用点的位置都有关。

8、但外力在平行于转轴方向的分力对刚体定轴转动不起作用，所以只需考虑外力在垂直于轴的平面内的分力。1、力矩：pfcosφdofsinφφ定义：外力相对于某固定轴的力矩为：力矩的大小：其中：称为外力对转轴的力臂。力矩的大小也可以写作：当有几个外力同时作用于刚体时，合外力矩等于各外力力矩的矢量和：可见：只有垂直于位矢方向的分力fsinφ才对刚体定轴转动起作用。但对于作定轴转动的刚体，合外力矩可用代数和表示：刚体所受合外力为零时，合外力矩不一定为零