函数单元的复习概要

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1、函数单元的复习概要高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com一、知识结构二、复习要求1．复习函数时，要在了解映射概念的基础上，理解函数的有关概念，如记号、定义域、值域等；2．掌握互为反函数的概念及互为反函数图象之间的关系；3．了解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性作出函数的图象；4要熟练掌握求函数定义域、值域、最值、单调区间、反函数的方法，它们是研究函数问题的基本方法；5．重要的初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的图象和性质是函数中的知识主干，

2、它给研究函数提供了具体的感性材料，因此，对它们图象和性质的复习是复习函数内容的重中之重；6．函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数与方程的相互转化是解决函数问题的重要途径。研究方程的解就是确定函数的图象与轴的交点坐标，是函数图象的一种特殊状态，数与形的相互转换是数形结合思想的具体体现；7．函数部分还涉及到中学数学里的其他思想，如分类讨论思想、化归思想等；解题过程中还有一些常使用的具体方法：配方法、待定系数法、换元法、反证法以及比较法等.例1．（2000年上海2）函数的定义域为，本题的易错点（1）解不等式时错为或（2）定义域没

3、有写成集合或区间.回顾：求函数的定义域是处理函数问题的基本方法，要重视定义域在解题中的重要作用，在求函数的值域、最值，判断函数的单调性和奇偶性，求函数的解析式以及作函数的图象过程中，都离不开对定义域的研究.解：由例2．（2005年广东7）在同一平面坐标系中，函数和的图象关于直线对称.现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，的表达式为所得的图象是由两条线段组成的折线（如图），则函数解：本题设图象所对应的函数解析式为，将图象沿轴向右平移2个单位，再沿轴向下平移1个单为就得到函数的图象，从而得到又由函数和的图象关于直线

4、对称，所以选A.或（2）由所给图象的解析式得到（3）忽略了函数与其反函数的定义域和值域之间的关系.所以（1）所给的图象当成为函数的图象；的解析式时，没有运用逆向变换；本题的易错点：A．2B.3C.4D.6例3．（2005年福建）已知函数是定义在上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是解：是定义在上的奇函数，所以又以3为周期又因为，则，再有同理，，所以方程在区间内解的个数的最小值是6.本题的易错点：（1）注意了函数的周期性，由推出，但忽略了奇函数的性质；（2）利用了奇函数的性质，即，但缺少了这一隐含条件，从而漏

5、根.回顾：函数的奇偶性、周期性为龙头，综合考察函数的对称性，以及思维能力、推理能力，体现了函数方程思想.例4．（2002年全国）设函数判断函数的奇偶性；（2）求函数的最小值.解：（1）当时，函数此时显然为偶函数.①当时，此时既不是奇函数又不是偶函数.②当时，若，则函数在上递减，从而函数在上的最小值为若，则函数在上的最小值为.③当时，若，则函数在上的最小值为若，则函数在上的最小值为综上所述，时，的最小值为；时，的最小值为；，的最小值为.本题的易错点（1）在研究函数的奇偶性时，不对参数进行讨论，从而给出非奇非偶函数的结论；（2）二次

6、函数最值问题的研究应该在去掉绝对值符号的基础上进行，不能忽视对参数的二级讨论.回顾：本题从较深层次上考察了分类讨论和化归思想，二次函数的最值问题是函数最值中最活跃的题型，常需要考虑三个因素（1）定义域；（2）对称轴位置；（3）开口方向；解决此类问题时又必须结合函数的图象进行解题.例5．设函数是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意的，都有（1）设，求（2）证明：是周期函数；（3）记，求解：（1）都有又；（2）由题意，关于直线对称，，又，所以即可知是上的周期函数，且2为它的一个周期；（3）由（1）得，=，又，又2为的周期，所

7、以本题的易错点：（1）未能深刻理会函数的本质，不知如何下手；时，以致出现由，得出的错误结论；（3）对抽象推理的每步变形依据不清，推理过程理由不充分，如关于直线对称，，所以2即为的周期；（4）不会把写成，从而不能过渡到，不能完成由局部到整体的过渡.回顾：本题是有关抽象函数问题，它没有具体的函数解析式，对其处理的常用方法有（1）赋值法：结合题意，选取适当的数值达到求解目的.（2）寻求背景函数法，找出适合题意的函数模型，用类比的手法解题。数列是一种特殊的函数，所以函数与数列知识的交汇时常成为高考命题的热点.（2）未能证明