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《第六章多元函数微积分复习概要》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义:函数"y)在区域D内有定义,当点P(x,y)eD沿任意路径无限趋于点人(兀0,旳)(卩书)时,f(x,y)无限趋于一个确定的常数A,则称常数A是函数Z=f(x,y)当P(x,y)趋于人(兀0,儿)时的极限•记作lim/(x,y)=A,或入TX。)fo(“)址爲°)/"*)=人,或,gy)Tg,y(J,或}mf(x,y)=A,或/gy)TA,qtO•其中,p=J(兀一兀())2+(y-儿尸-2.二元函数连续的定义:函数z=f(x,y)在点佗(兀0,旳)的
2、某一邻域〃(花)内有定义,如果对任意PCx,y)wU(£),都有lim/(%,)0=/(x0,y0)(或(xy)T(xo,yo)Jim/(P)=/TO),则称函数z=/(x,y)在点EOWo)FT岭处连续.3•偏导数的定义:函数z=f(x9y)在点£(心,儿)的某一邻域〃S)内有定义.(1)函数z=f(x,y)在点恥0,旳)处对%的偏导数定义为lim/(%+»儿)7他小),记作主,或必,心toZdx%=xGdxx=x0)u)'o.v=.vo或饷°,y°),或.心,y°),即宇二lim心+汽)-心,儿).OXF山TOAxy=y0
3、(1)函数Z=f(x,y)在点儿(兀0‘儿)处对V的偏导数定义为lim/(%%+')—小小),记作西3toAvdy△y或Z;(兀0,儿),或即詈,或孚*勺dyy=y()Xfo.V=.Vo=lim/g,y()+3)—/(无,儿)一zy=y(>Av而称车,或单,或z;(兀,y),或£©,y)及[賈或学,oxoxdydy或z©y),或为(关于%或关于y)偏导函数.高阶偏导数:黒紆菇3'/:(兀,y)或z:(x,y),2住、dydx丿dxdy2(虫dxdy丿dydx°z/:(兀,刃或z:(x,)‘)‘°Q=f;(x,y)或z:(x
4、,y)9卜話YE)或z;S)・同理可得,三阶、四阶、…,以及n阶偏导数.4.全微分定义:设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域〃(P)内有定义,若函数在点(x,y)的全增量Az=f(x+Ax,y+^y)-f(x,y)可表示为Az=Ax+BAy+°(p),其中A、B不依赖于Ax、Ay,仅于兀、歹有关,p=l(x-x0)2+(y-yn)2,则称函数Z=/(x,y)在点(x,y)处可微分,称AAr+B^y为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记为dz,即dz—AAx+BAy.可微的必要条件:若函数Z=f^y)在
5、点(兀刃处可微分,则(1)函数Z=f(x,y)在点(x,y)的偏导数车、车必dxdy存在;人vrzdzAdzAdzJ3z,(2)全微分为dz=—Ax+—Ay=—dx+—dy.dxdyoxdy推广:函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)的全微分为,du.du.du.du——dxHdyHdzdxdy?dz•可微的充分条件:若函数z=f^y)的偏导数车、dx青在点(S)处连续n□(")在点(S)处可微分.5•复合函数微分法(5种情况,由简单到复杂排列人(1)含有多个中间变量的一元函数z=/(w,v,w),U=M(x),V=V(x
6、),W=W(兀),则/UXdz_dzdudzdvdzdw=11fZy兀dxdudxSvdxdwdxIWX称此导数伞为全导数;dx(2)只有一个中间变量的二元复合函数情形1:Z=f(u),u=u(x,y),则dz_dzdudz_dzdu3/一3A=9<-araz-rs.df9>:z=/(x,y,w),dzdu+,dudxdzduHdudvu=u(x,y),贝!Jdxdudxdydudy其屮,字与车是不同的,车是把复合函数oxdxdxZ=f[xyy,u(x,y)]中的y看作不变量而对兀的偏导数;琴是dx把函数f(x,y,u)中的y
7、及"看作不变量而对x的偏导数。车与车与也冇类似的区别.oyuy(1)中间变量为两个,自变量也为两个的二元复合函数设2=/仏小u=(p(x,y),dza乙dudzdv—=4dxdudxdvdxdzdzdudzdv——=1•dydudydvdy(2)中间变量多于两个的二元复合函数设z=/(w,V,w),u=w(x,y),dzdzdudzdvdzdw——=11,dxdudxdvdxdwdx_dzdudzdvdzdw—++•dydudydvdydwdy6•隐函数微分法v=v(x,y),w=w(x,y),贝(J(1)一元隐函数设方程F(
8、x,y)=O确定了y是x的函数y=/(x),则方法1:方程F(x,y)=O两边对X求导,见X对兀求导,见y对y求导,对y求导时再乘以)/;方法2:dxF;(2)二元隐函数设方程F(x,y,z)=O确定了Z是兀、y的函数—,则A金1=47•多元函数的极值极值存在的必要条件函数z