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《第六章多元函数微积分复习概要》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数"y)在区域D内有定义，当点P(x,y)eD沿任意路径无限趋于点人(兀0，旳)(卩书)时，f(x,y)无限趋于一个确定的常数A,则称常数A是函数Z=f(x,y)当P(x,y)趋于人(兀0，儿)时的极限•记作lim/(x,y)=A,或入TX。)fo(“)址爲°)/"*)=人，或,gy)Tg,y(J,或}mf(x,y)=A,或/gy)TA,qtO•其中，p=J(兀一兀())2+(y-儿尸-2.二元函数连续的定义：函数z=f(x,y)在点佗(兀0，旳)的
2、某一邻域〃(花)内有定义，如果对任意PCx,y)wU(£),都有lim/(%,)0=/(x0,y0)(或(xy)T(xo，yo)Jim/(P)=/TO),则称函数z=/(x,y)在点EOWo)FT岭处连续.3•偏导数的定义：函数z=f(x9y)在点£(心，儿)的某一邻域〃S)内有定义.(1)函数z=f(x,y)在点恥0，旳)处对％的偏导数定义为lim/(%+»儿)7他小)，记作主,或必,心toZdx%=xGdxx=x0)u)'o.v=.vo或饷°,y°)，或.心,y°)，即宇二lim心+汽)-心，儿).OXF山TOAxy=y0
3、(1)函数Z=f(x,y)在点儿(兀0‘儿)处对V的偏导数定义为lim/（%%+'）—小小），记作西3toAvdy△y或Z；（兀0，儿），或即詈,或孚*勺dyy=y（）Xfo.V=.Vo=lim/g,y()+3)—/(无,儿)一zy=y(>Av而称车，或单，或z；（兀,y）,或£©,y）及［賈或学,oxoxdydy或z©y）,或为（关于％或关于y）偏导函数.高阶偏导数：黒紆菇3'/：(兀,y)或z：(x,y),2住、dydx丿dxdy2(虫dxdy丿dydx°z/：（兀,刃或z：（x，）‘）‘°Q=f；(x,y)或z：(x
4、,y)9卜話YE）或z；S）・同理可得，三阶、四阶、…，以及n阶偏导数.4.全微分定义：设函数z=f（x,y）在点P（x,y）的某一邻域〃（P）内有定义，若函数在点（x,y）的全增量Az=f（x+Ax,y+^y）-f（x,y）可表示为Az=Ax+BAy+°（p）,其中A、B不依赖于Ax、Ay,仅于兀、歹有关，p=l（x-x0）2+（y-yn）2,则称函数Z=/（x,y）在点（x,y）处可微分，称AAr+B^y为函数z=f（x,y）在点（x,y）的全微分，记为dz,即dz—AAx+BAy.可微的必要条件：若函数Z=f^y）在
5、点（兀刃处可微分，则(1)函数Z=f(x,y)在点(x,y)的偏导数车、车必dxdy存在;人vrzdzAdzAdzJ3z,(2)全微分为dz=—Ax+—Ay=—dx+—dy.dxdyoxdy推广：函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)的全微分为,du.du.du.du——dxHdyHdzdxdy?dz•可微的充分条件：若函数z=f^y)的偏导数车、dx青在点(S)处连续n□(")在点(S)处可微分.5•复合函数微分法(5种情况，由简单到复杂排列人(1)含有多个中间变量的一元函数z=/(w,v,w),U=M(x),V=V(x
6、),W=W(兀),则/UXdz_dzdudzdvdzdw=11fZy兀dxdudxSvdxdwdxIWX称此导数伞为全导数；dx(2)只有一个中间变量的二元复合函数情形1:Z=f(u),u=u(x,y),则dz_dzdudz_dzdu3/一3A=9<-araz-rs.df9>:z=/(x,y,w),dzdu+,dudxdzduHdudvu=u(x,y),贝!Jdxdudxdydudy其屮,字与车是不同的，车是把复合函数oxdxdxZ=f[xyy,u(x,y)]中的y看作不变量而对兀的偏导数；琴是dx把函数f(x,y,u)中的y
7、及"看作不变量而对x的偏导数。车与车与也冇类似的区别.oyuy(1)中间变量为两个，自变量也为两个的二元复合函数设2=/仏小u=(p(x,y),dza乙dudzdv—=4dxdudxdvdxdzdzdudzdv——=1•dydudydvdy(2)中间变量多于两个的二元复合函数设z=/(w,V,w),u=w(x,y),dzdzdudzdvdzdw——=11,dxdudxdvdxdwdx_dzdudzdvdzdw—++•dydudydvdydwdy6•隐函数微分法v=v(x,y),w=w(x,y),贝(J(1)一元隐函数设方程F(
8、x,y)=O确定了y是x的函数y=/(x),则方法1:方程F(x,y)=O两边对X求导，见X对兀求导,见y对y求导，对y求导时再乘以)/；方法2：dxF；(2)二元隐函数设方程F（x,y,z）=O确定了Z是兀、y的函数—,则A金1=47•多元函数的极值极值存在的必要条件函数z
