欧几里得空间练习题

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1、欧几里得空间练习题一、填空题1.与任何向量都正交。2.设、均为正交矩阵，则。3.若为欧氏空间的一组标准正交基，且，则。4.设、均为3阶正交矩阵，则。5.若为欧氏空间的一组标准正交基，且，则。6.若为欧氏空间的一组标准正交基，且，则。7.设欧氏空间的正交变换在一组标准正交基下的矩阵是，则。8.两个欧氏空间同构的充要条件是它们有。4二、选择题1.设是欧氏空间的两个正交变换，则（）。A.也是正交变换B.也是正交变换C.任意也是正交变换D.也是正交变换2.设是维欧氏空间，那么中的元素具有如下性质（）。A．若B．若C．若D.若>3.关于欧氏空间与线性空间的关系，下列说法错误的是（）。A.

2、欧氏空间是特殊的线性空间B.如果一个空间是线性空间则它一定是欧氏空间C.如果一个空间是欧氏空间则它一定是线性空间D.线性空间比欧氏空间范围大4.设是n维欧氏空间，W是的子空间，则W的正交补的维数等于（）。A.dimWB.n-dimWC.n-2dimWD.不确定5.设u是正交矩阵，则（）。A.u的行列式等于1B.u的行列式等于-1C.u的行列式等于±1D.u的行列式等于06.n维欧氏空间上的线性变换为正交变换的充要条件是（）。A.在的任一组基下的矩阵都是正交矩阵B.在的任一组正交基下的矩阵都是正交矩阵C.在的任一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵D.在的任一组基下的矩阵都是实对称矩

3、阵7.设是n维（n>0）线性空间V的一个对称变换,则下列说法错误的是()。A.的特征值全部为实数B.一定可以对角化C.关于某一组标准正交基的矩阵是对称矩阵D.一定是正交变换4三、计算题1.设二次型，用正交线性替换将二次型化为标准形。2.设实对称矩阵,求正交矩阵,使得为对角形矩阵。3.已知二次型，通过正交线性替换化成标准形，并写出所做的正交线性替换。4.设为数域P上线性空间的基，且线性变换在此基下的矩阵为。（1）求的特征值与特征向量；（2）是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵使得为对角形矩阵。注：也可以指出是实对称阵，故可以对角化．另外注意正交矩阵的取法不唯一。5.设为数域P上线

4、性空间的基，且线性变换在此基下的矩阵为。（1）求的特征值与特征向量；（2）是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵使得为对角形。4四、证明题1.证明:欧氏空间上的对称变换的属于不同特征值的特征向量是正交的.2.设是欧氏空间的一个线性变换，证明以下两个命题等价:（1）是正交变换。（2）若是的标准正交基，那么也是的标准正交基。3.设是欧氏空间的一个线性变换，证明是正交变换的充分必要条件是若是的标准正交基，那么也是的标准正交基。3.设A，B都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵T，使得的充分必要条件是A，B有相同的特征值。4.设是维欧氏空间V的一个对称变换，且，证明存在V的一组标准正交基使得

5、关于这个基的矩阵有形状。4