资源描述：
《第九章 欧几里得空间》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第九章欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义1设是实数域上一个向量空间,在上定义了一个二元实函数，称为内积,记作,它具有以下性质:1);2);3);4),当且仅当时,这里是任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间.例1在线性空间中,对于向量,定义内积(1)则内积(1)适合定义中的条件，这样就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.在时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2在里,对于向量,定义内积则内积(1)适合定义中的条件，这样就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间
2、.,对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.例3在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中,对于函数定义内积.(2)对于内积(2)，构成一个欧几里得空间.同样地，线性空间对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4令是一切平方和收敛的实数列所成的集合,则是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的..定义2非负实数称为向量的长度，记为.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：(3)这里.长度为1的向量叫做单位向量.如
3、果,由(3)式，向量就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量有(5)当且仅当线性相关时，等式才成立.对于例1的空间，(5)式就是对于例2的空间，(5)式就是定义3非零向量的夹角规定为根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式.定义4如果向量的内积为零，即那么称为正交或互相垂直，记为.两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为.只有零向量才与自己正交.勾股定理：当正交时，推广：如果向量两两两正交，那么.设是一个维欧几里得空间，在中取一组基，对于中任意两个向量
4、,,由内积的性质得令(8)显然于是(9)利用矩阵，还可以写成,(10)其中分别是的坐标，而矩阵称为基的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积.设是空间的另外一组基，而由到的过渡矩阵为，即于是不难算出，基的度量矩阵.(11)这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.根据条件(4)，对于非零向量，即有因此，度量矩阵是正定的.反之，给定一个级正定矩阵及维实线性空间的一组基.可以规定上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的度量矩阵是.欧几里得空间的子空间在所
5、定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间.欧几里得空间以下简称为欧氏空间.§2正交基一、标准正交基定义5欧氏空间的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过个.定义6在维欧氏空间中，由个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.设是一组标准正交基，由定义，有(1)显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交
6、基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在维欧氏空间中，标准正交基是存在的.在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即.(2)在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设那么(3)这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位.二、规范正交基的存在性及其正交
7、化方法定理1维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基.应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基.定理2对于维欧氏空间中任意一组基，都可以找到一组标准正交基，使应该指出，定理中的要求就相当于由基到基的过渡矩阵是上三角形的.定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程.例1变成单位正交组.三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交
8、基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式.设与是欧氏空间中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是，即因为是标准正
