第九章 欧几里得空间复习指导(新)

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1、第九章欧几里得空间复习指导（一）基本内容1.内积、欧氏空间的概念及其简单性质.2.向量的长度，两个非零向量的夹角，向量的正交.3.标准正交基，度量矩阵，正交矩阵及其性质.4.正交补与内射影.5.正交变换，对称变换，实对称矩阵的性质及其对角化.6.实二次型的标准化.7.欧氏空间的同构.（二）主要方法1.线性空间是否为欧氏空间的判别法.2.向量的内积﹑长度﹑夹角的求法.3.欧氏空间的标准正交基的Schimidt正交化求法.4.正交矩阵的判别方法.5.判别线性变换为正交变换、对称变换、反对称变换的方法.6.实对称矩阵通过正交矩阵化为对角矩阵的方法.7.用正交线性替换化二次型为标准形的

2、方法.（三）重要习题例1：判别线性空间是否为欧氏空间.【验证内积是否满足四条性质】如：课本P360例1、2.类似题有：课本P393习题1.例2：求向量的内积﹑长度﹑夹角等.如：课本P360习题2、3.例3：求有限维欧氏空间的标准正交基.如：课本P369例.类似题有：课本P393习题4——9.例4：判别实矩阵为正交矩阵及正交矩阵的性质.见：课本P370、374.常见习题：课本P394习题13、P397补充题1——3.例5：判别线性变换为正交变换、对称变换、反对称变换的方法.常见习题：课本P395习题15、23、24，P397补充题2——4.例6：证明实对称矩阵的性质，将实对称矩阵

3、对角化.【重点：通过正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵】如：课本P381例.常见习题：课本P395习题16、17、20——22，P397补充题6.例7：证明实对称正定矩阵的性质，用正交线性替换化二次型为标准形.【用正交线性替换化二次型为标准形——这也是重点！】常见习题：课本P395习题14、18、19，P397补充题10.思考题：设是欧氏空间中一单位向量，，定义，（1）证明是的线性变换.（2）当取何值时，是正交变换，并讨论的类型.