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1、第八章欧几里得空间8.1定义与基本性质8.2标准正交基8.3正交变换8.4实对称矩阵的标准形课外学习9：实现正交化过程的新方法在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国王设置的捷径。---欧几里德(Euclid,约前325-约前265)8.1定义与基本性质一、内容分布8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质二、教学目的：1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量
2、的距离．2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ与η的内积<ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间．3．掌握及其它不等式，并会用它来证明另三、重点难点：1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;2.不等式的灵活运用.一些不等式8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义1)2)3)4)当时,定义1设V是实数域R上一个向量空间.如果对于V中任意一对向量有一个确定的记作的实数与它们对应，并且下列条件被满足：这里是V的任意向量，a是任意实数，那么这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧
3、氏空间）.叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于例1在规定里,对于任意两个向量容易验证,关于内积的公理被满足,因而对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间.例2在规定里,对于任意向量不难验证,也作成一个欧氏空间.例3令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数我们规定所成的向量空间,根据定积分的基本性质可知,内积的公理1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间.例4令H是一切平方和收敛的实数列所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标量与向量的乘法:设规定向量的内积由公式给出，那么H是一个欧氏空间.练习1
4、为向量空间中任意两向量,证明:对作成欧氏空间的充分必要条件是m>0,n>0.8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角定义2设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数的算术根叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号表示：定理8.1.1在一个欧氏空间里,对于任意向量有不等式(6)当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.定义3设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量，ξ与η的夹角θ由以下公式定义：例5令是例1中的欧氏空间.中向量的长度是由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ和任意实数a,有注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度等于a的绝对值与ξ的长
5、度的乘积.例6考虑例1的欧式空间由不等式(6)推出,对于任意实数有不等式(7)(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.例7考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6）推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数有不等式(8)(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被统一起来.因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不等式.例8设为欧氏空间V中任意两个(1)当且仅当的夹角为0;非零向量.证明:(2)当且仅当的夹角为π;8.1.3向量的正交定义4欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,如
6、果定理8.1.2在一个欧氏空间里，如果向量ξ中每一个正交，那么ξ与的任意一个线性组合也正交.与思考题1：设是n维欧氏空间V中证明:两个不同的向量,且思考题2：在欧氏空间中,设两两正交,且的长度求A的行列式的值.8.2标准正交基一、内容分布8.2.1正交组的定义、性质8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性8.2.3子空间的正交补8.2.4正交矩阵的概念8.2.5n维欧氏空间同构的概念及判别二、教学目的：1．准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质．2．能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无
7、关向量组求出一个标准正交向量组3．能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补．4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系．5．掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论．三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念;子空间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法8.2.1正交组的定义、性质定义1欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量,这个正交组就叫做一个标准正交组.1．正交组的定义例1向量构成一个标准正交组
8、，因为例2考虑定义在闭区间函数所作成的欧氏空间（参看8.1例3），函数组的一个正交组。(1)1，cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…构成上一切连续事实上，我们有把（1）中每一向量除以它长度，我们就得C[0，2π]的一个标准正交组2．正交组的性质定理8.2.1设一个正交组，那么线性无关.是欧氏空间的证：设有使得因为当i≠j时，所以但
