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1、铅球掷远理学院物理10112010533021姓名：童一龙摘要：本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，且比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。由运动规律可知，影响投掷距离的因素主要有铅球出手时的初速度、出手角度和出手高度。本文利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动，通过建立模型,分析出手速度、出手角度、出手高度三个因素对投掷距离的影响，从而解决铅球掷远问题.关键词：铅球掷远出手速度出手角度数学模型1背景及
2、问题的提出铅球掷远比赛的场地是直径2.135m的圆，要求运动员从场地中将7.257kg重的铅球掷在45°的扇形区域内，如图1。观察运动员的比赛录像发现，他们的投掷角度变化较大，一般在38°~45°，有的高达55°建立模型讨论以下问题：1.以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。2.给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。比较掷远结果对出手速度和出手角度灵敏性。1.考虑运动员推铅球时用力展臂的动作，改进上面的模型。2数学建模2.1问题分析如果出手速度、出手角度、出
3、手高度都已给定，且不考虑铅球在空气中所受的阻力影响，则根据牛顿运动定理可完全确定铅球的运动轨迹方程。2.2模型假设假设1：以水平面为参考系，设运动员的出手高度为h，出手角度为θ，出手速度为V。，铅球达到最高点时经历时间为t1，从最高点下落到水平面的时间为t2，在总时间T=t1+t2内铅球水平方向经过的路程即为S。假设2.铅球在空气中所受的阻力对其运动影响甚小，忽略不计。假设3.不考虑运动员推铅球时用力展臂的动作。2.3模型建立图2：铅球掷远简意图如图2为铅球斜抛运动简易图，对铅球的运动求解：①将
4、出手速度V。在水平及竖直方向分解：②铅球从开始抛出到最高点经历时间：③铅球最高点处到抛出位置的垂直高度:④铅球从最高点落到水平面的时间：⑤铅球水平方向经过的路程：联立以上5个方程最后可得掷远距离S与出手速度、出手角度、出手高度的函数关系式：因为对出手高度没有要求，可设出手高度h=1.8m,g为重力加速度，取9.8m/s^2.Matlab命令1．建立掷远距离随出手速度和出手角度变化的函数文件functionf=fun_s(a,v)f=(2.*1.8.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./9
5、.8+(v.*v.*sin(2.*a)./19.6).^2).^0.5+v.*v.*sin(2*a)./19.6;2．在matlab中绘出函数图像v=linspace(0,30,100);a=linspace(0,pi/2.100);[A,V]=meshgrid(a,v);S=fun_s(A,V);surf(A,V,S)ylabel('速度Vm/s');xlabel('角度');zlabel('投掷距离m');title('不同出手速度和角度对应的抛掷距离图像');axis([0pi/20300
6、100]);结果如下图所示：图3.不同出手速度和角度对应的抛掷距离图像3模型求解3.1给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。S对θ求导：要使掷远距离最大，即另，则化简最后得到:。所以在给定出手高度，对于不同的出手速度，为最佳出手角度。Matlab命令：1.在给定出手速度v下要达到最大射程时对应的角度函数文件：functionf=fun_sv(v)f=0.5*acos(1.8*9.8/(1.8*9.8+v*v))/pi*180;绘出图像：fplot('fun_sv',[0,100])
7、;xlabel('速度Vm/s');ylabel('角度');title('v不同得到最大投掷距离时对应的角度曲线');axis([050060]);结果如下图所示：图4.出手速度不同时得到最大投掷距离对应的角度曲线3.2比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。1．对角度θ求导函数文件：functionf=fun_da(a,v)h=1.8f=(v.^4.*sin(2*a).*cos(2*a)/9.8/9.8-2.*h.*v.*v.*sin(2*a)./9.8)./9.8./sqrt(8*9.8
8、*h.*v.*v.*cos(a).^2+v.^4.*sin(2*a).^2)+v.^2.*cos(2*a)./9.8;绘出图像：da=fun_da(A,V);surf(A/3.14*180,V,da)ylabel('速度Vm/s');xlabel('角度');zlabel('不同角度对应的da');title('不同速度和角度下S对θ求导图像');axis([090030-100100]);结果如下图：图5.不同速度和角度下S对角度求导图像2.s对速度v求导函数文件：functionf=fun_
