铅球掷远问题的数学模型

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1、第二期（2003年8月）韶关学院学生数学建模论文集No.2铅球掷远问题的数学模型颜学友，黄兰香，黄旺林1．韶关学院2001级数学系数学与应用数学(1)班，广东韶关512005；2．韶关学院2002级计算机系本科(2)班，广东韶关512005[摘要]：本文综合考虑铅球的受力情况，抓住出手角度、出手速度、出手高度与投掷距离的关系，从解析几何角度考虑铅球的运动方程，进而得出了反映铅球掷远距离与三者函数关系的模型Ⅰ．为了得到更为合理的数学模型，我们进一步观察整个投掷过程，将整个过程分为滑步用力阶段和展臂脱手两个阶段．再对两个阶段分别进行合理的分析，进一步考虑推力、

2、初速度、加速度、出手速度等因素之间的相互关系，对以上模型进行了改进，得到了更为合理的模型Ⅱ．在以上模型的基础上固定出手高度，求出了最佳出手角度为，,其中．另外，运用数值极差法和图象分析法，得出了速度的灵敏性高于出手角度．关键词：出手速度；出手角度；出手高度；灵敏性1问题的提出铅球掷远比赛要求运动员在直径2.135m的圆内将重7.257kg的铅球投掷在的扇形区域内，如右图．综合分析铅球的运动过程建2.135m立分别符合以下要求的两个数学模型：1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型；2．考虑运动员推铅球时用力展臂的动作，改进以上模型．

3、3．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度4．比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性．2模型的分析2．1模型Ⅰ2．1.1模型的假设与符号约定1忽略空气阻力对铅球运动的影响．2出手速度与出手角度是相互独立的．3不考虑铅球脱手前的整个阶段的运动状态．2．1.2符号约定v铅球的出手速度铅球的出手角度h　铅球的出手高度t铅球的运动时间L铅球投掷的距离g地球的重力加速度()2．1.3问题的分析98第二期（2003年8月）韶关学院学生数学建模论文集No.2问题1要求我们以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型．我们只需求出

4、掷远的距离关于三者的函数关系式．这样，我们合理地简化其他影响因素，从物理、数学上得出关系式即可．2.1.4模型的建立与求解　　铅球出手后，由于是在一个竖直平面上运动．我们，以铅球出手点的铅垂方向为y轴，以y轴与地面的交点到铅球落地点方向为x轴构造平面直角坐标系．xvhy图(1)这样，铅球脱手后的运动路径可用平面直角坐标系表示，如图(1)．因为，铅球出手后，只受重力作用（假设中忽略空气阻力的影响），所以，在x轴上的加速度，在y轴上的加速度．如此，从解析几何角度上，以时间t为参数，易求得铅球的运动方程：对方程组消去参数t，得……………………………………………(

5、1)当铅球落地时，即是，代入方程(1)解出x的值对以上式子化简后得到铅球的掷远模型………………………………(2)2.1.5模型的检验以下是我国两名优秀女运动员一次投掷的成绩：运动员出手速度v(m/s）出手高度h(m)出手角度模型一中的L(m)实测成绩L(m)A13.522.0038.6920.2220.30B13.772.0640.0021.2521.41　　从以上数据，我们可以看出由模型Ⅰ计算的结果与实际投掷距离是比较吻合的．但也有一定的误差，这是由于我们忽略了过多的因素，下面我们尽量考虑所涉及到的因素建立模型Ⅱ．2.2模型Ⅱ2.2.1模型的假设1忽略空

6、气阻力对铅球运动的影响．2手对铅球的推力是一个恒力．98第二期（2003年8月）韶关学院学生数学建模论文集No.23在铅球脱手前，铅球的运动方向与出手角度一致．4铅球从静止到运动期间运动的路径是直线的．5不考虑运动员的身体素质和心理素质对投掷铅球的影响．6铅球出手瞬间肩部恰在场地边界．2.2.2符号约定v铅球的出手速度铅球的出手角度h　铅球的出手高度g地球的重力加速度()F手对铅球的推力m铅球的质量(m=7.257kg)铅球出手瞬间肩部的高度L铅球出手后运动的距离手臂的长度铅球加速的距离S铅球投掷的总成绩2.2.3问题的分析在模型Ⅰ中，我们假设出手速度和出

7、手角度是相互独立的．事实上，整个投掷过程包括滑步用力阶段和展臂脱手阶段，（如图(2)）．它们是相互联系的．所以，模型Ⅰ中假设出手速度和出手角度相互独立是不合理的．现在，我们观察以上两个阶段，铅球从A点运动到B点,其运动状态是匀加速直线运动的,加速距离是段．且出手高度与手臂长及出手角度是有一定的联系，进而合理地细化各个因素对掷远成绩的约束，改进模型Ⅰ．mgmgsinF图(3)图形说明：A点是作好准备，铅球从静止到运动的瞬间；B点是铅球脱手的瞬间；C点是铅球着地点．　　　　　　CLＢhaＶＡ图(2)２.2.4模型的建立与求解98第二期（2003年8月）韶关学院

8、学生数学建模论文集No.2在投掷角度为上进行受力分析，如图(3)由