周期信号的连续时间傅里叶级数

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1、傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表“热的分析理论”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件1768—18304.2三角形式傅里叶级数Gibbs现象!4.2三角形式傅里叶级数傅里叶的两个最重要的贡献—“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示”——傅里叶的第二个主要论点4.2三角形式傅里叶级数4.2三角形式傅里叶级数将任意周期信号在三角函数或复指数

2、函数组成的完备正交函数集或内分解而得到的级数统称为傅里叶级数（FS）将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义:1.从信号分析的角度将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合,为不同信号之间进行比较提供了途径。2.从系统分析角度已知单频正弦信号激励下的响应，利用叠加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应；而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。将任意一个周期信号表示成傅立叶级数具有如下一些显著优点：①三角函数和复指数函数是自然界中最常见，最基本的函数；②三角函数和复指数函数是简谐函数，用

3、它们表示时间信号，自然地建立起了时间和频率这两个基本物理量间的联系；③简谐信号较其他信号更容易产生和处理；④三角信号或复指数信号通过线性时不变系统后，仍为三角函数和复指数函数，其频率不变，只是幅度和相位产生变化，同时，线性时不变系统对三角函数或复指数函数的响应求解非常方便；4.2三角形式傅里叶级数⑤许多系统的特性主要由其频域特性来描述，因此常常需要关心的并不是这些系统的冲激响应，而是其冲激响应所对应的频率特性；⑥时域中的卷积运算在频域中会转化为乘积运算，从而找到了计算卷积的一种新方法，使时域中难于实现的卷

4、积求解便于实现。4.2三角形式傅里叶级数如何将任意一个周期信号在三角函数或复指数函数组成的完备正交函数集分解得到傅立叶级数？？正交区间为（t0,t0+T），完备正交函数集：傅里叶系数1.将一个周期为T的函数表示为这个正交函数集中各函数的线性组合：基波角频率4.2三角形式傅里叶级数2.傅立叶系数：直流系数余弦分量系数正弦分量系数a0/2:直流分量是n的偶函数是n的奇函数4.2三角形式傅里叶级数3.周期信号的另一种三角级数表示：直流分量基波分量（n=1的项）谐波分量（n>1）是n的偶函数是n的奇函数4.2三角

5、形式傅里叶级数f(t)为偶函数时的傅立叶级数f(t)=f(－t)偶函数的傅立叶级数只有直流分量和余弦分量，无正弦分量。4.2三角形式傅里叶级数f(t)为奇函数时的傅立叶级数f(t)=－f(－t)奇函数的傅立叶级数只有正弦分量，无直流分量和余弦分量。4.2三角形式傅里叶级数例：求周期矩形脉冲的三角形式傅里叶级数展开式。解：4.2三角形式傅里叶级数正交区间为（t0,t0+T），完备正交函数集：系数：复振幅引入了负频率4.3指数形式的傅里叶级数f(t)为实函数4.3指数形式的傅里叶级数两种展开式的系数间的关系:

6、一个周期信号既可展成三角形式傅立叶级数，同时也可展成复指数形式的傅立叶级数，二者之间存在着明确的关系（欧拉公式）负频率的理解：4.3指数形式的傅里叶级数例:已知正弦信号，求其傅里叶级数表示式。解：直接利用欧拉公式得到傅里叶级数表示式：可以看出，上式中：4.3指数形式的傅里叶级数例：求周期方波的复指数展开式。解：信号的基波周期是T，基波频率是当时4.3指数形式的傅里叶级数例:求周期冲激信号的指数形式傅立叶级数表示式n=0,1,2,….δT(t)解：求系数：4.3指数形式的傅里叶级数4.3.4周期信号的频

7、谱及其特点周期信号的两种展开式：均为的函数，分别组成f(t)的第n次谐波分量的振幅和相位频谱图相位频谱振幅频谱以振幅为纵坐标所画出的谱线图以相位为纵坐标所得到的谱线图以ω为横坐标复振幅4.3指数形式的傅里叶级数例:试画出f(t)的振幅谱和相位谱。解：为周期信号，题中所给的表达式可视的傅里叶级数展开式。根据可知，其基波频率：π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分别为二、三、六次谐波频率。4.3指数形式的傅里叶级数其余单边频谱4.3指数形式的傅里叶级数双边频谱4.3指数形式的傅里叶级数例:

8、试画如下周期信号的振幅谱和相位谱。解：其基波频率，分别有一、三、五……奇次谐波分量其余振幅频谱相位频谱4.3指数形式的傅里叶级数例：周期矩形脉冲信号otT2T2TT2－τ2τ2－－TEf(t)复系数:4.3指数形式的傅里叶级数取样函数定义为：偶函数x→0时，Sa(x)=1当x=kπ时，Sa(kπ)=04.3指数形式的傅里叶级数因此：可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即由复振幅的表达式可知，频谱谱线顶点的连线所构成