全概率公式的不足与改进

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1、第27卷第2期大学数学Vo1．27，№．22011年4月C0LLEGEMATHEMATICSApr．2011全概率公式的不足与改进李全忠，刘长文，王希超(山东农业大学信息学院，泰安271000)[摘要]指出了全概率公式存在的不足，主要表现为不便于应用与易于误导等问题，进而给出了改进型全概率公式及其证明．实践表明，本文所给出的改进型全概率公式有着易于理解、便于掌握和应用等优点．[关键词]样本空间；完备事件组；条件概率；全概率公式；复合试验[中图分类号]O211[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2011)02—0

2、173—041引言全概率公式是概率论中最基本和最重要的公式之一，通过它可以大大降低思考问题的难度，进而达到“复杂的问题简单化”的目的．全概率公式所解决的问题可归结为，复合试验中随机事件的概率计算问题．复合试验是指，该试验E由相继进行的两个试验E，E。复合而成，其中E为先行试验，为提供试验的条件；E是后继试验，是在E完成的基础上进行的试验．例如，设甲袋中有3个白球4个红球，乙袋中有1个白球2个红球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，问从乙袋取出2个红球的概率．在该例中，“从甲袋中任取2球放人乙袋”即为先行试验E

3、，“从乙袋中任取2球”即为后继试验E。，整个试验E便可看作是由E，E。复合而成的．计算后继试验E中某事件的概率，就是全概率公式的意义所在．众所周知，全概率公式是教学上与认识上的一个难点，分析与实践都表明，其难点归根结底主要表现在其本身存在的不足上．2全概率公式及其存在的问题定义1设随机试验E的样本空间为n，B，B。，⋯，B为一组事件，如果(i)BfB，：，≠，i，J一1，2，⋯，7z；(ii)UB：，f一1则称B，B。，⋯，B为样本空间的一个划分，或称B，B。，⋯，B为完备事件组．定理1Ⅲ(全概率公式，下称传统全概率公式)

4、设力为随机试验E的样本空间，B，B。，⋯，B为样本空间0的一个完备事件组，且P(B)>O(一1，2，⋯，)，则对任一事件A，有P(A)一>：P(B)P(A／B)．很多《概率论》教科书上，都有定理1的证明，这里不再赘述．稍作分析便不难发现，定理1的证明是没问题的，但在具体应用该定理时却存在以下两个问题：(i)该定理难以使用，即难以对号人座；(ii)该定理易于误导初学者．第一，该定理要求B，B。，⋯，B是试验E样本空间n的一个完备事件组，即[收稿日期]2008—06—03；[修改日期]2009—02—03174大学数学第27卷

5、UB—n，这在一些实际问题当中是难以做到的，也是没必要的，这是该定理难用的一个重要原因；第二，在该定理的证明过程中A作为n的子事件，有等式A—A成立是没问题的，但在实际问题中，这个n往往不是整个试验E的样本空间，因而A=An是难以成立的，这是易对初学者造成误导的一个重要原因．下面给出的是关于前面引言中提到的那个问题的经典解答方法，从解答过程中不难发现所述问题的存在．例1设甲袋中有3个白球4个红球，乙袋中有1个自球2个红球，现从甲袋中任取2球放人乙袋，再从乙袋中任取2球，问从乙袋取出2个红球的概率?解令B==={从甲袋中任取

6、2个白球放入乙袋)，B。一{从甲袋中任取1个白球和1个红球放入乙袋)，B。一{从甲袋中任取2个红球放入乙袋}；A一{从乙袋中任取2个球为红球}．因为B，B，B两两互不相容，且BUBUB。一n，(1)所以B，B，B。为样本空间的一个完备事件组，从而有A—An—AUB一U(AB)．(2)故由全概率公式，得P(A)一>：P(B)P(A／B)一骞×+X+×C2一未．简要分析：该题的计算结果是正确的，但解题过程是有问题的．第一，(1)式中的BUBUB。一n，似乎没问题，其实不然．这里的B，，B。，B。不是对整个试验E样本空间的一个划

7、分，而是对先行试验E。样本空间的一个划分；第二，(2)式中的A—An，只是“形式”上正确，而逻辑上不通，因为这个A并不是上述那个n(BUBUB。)的子事件．显然，这两条都与定理1的条件不相符．定理的条件不相符，定理还能使用吗?这就是一些现行教科书和学习指导之类的参考资料解答此类问题时的一些通病．然而，因最终计算结果正确，又让人浑然不觉这其中被掩盖了的逻辑错误．话又说回来，用传统的全概率公式解答此类问题，或者说依照传统全概率公式证明过程来解答此类问题时，好像也只能这样“凑合”，这就充分反映出传统全概率公式内在的不足了．3改进

8、型全概率公式及其证明定理2(改进型全概率公式)设试验E为E，E。的复合试验，其中，先行试验E的样本空间为0，B，B，⋯，B为n的一个完备事件组，且P(B)>0(i一1，2，⋯，)，后继试验E的样本空间为。，那么，对于E。的任一事件A，有P(A)一P(B)P(A／B)．i=l证显然，后继试验E的任一事件A